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極限値

　アークsinなどの極限の問題がとけません。 　lim　tan＾-1（1/x^2) lim (sinx^-1/tanx) ともにx→０です。 宜しくお願いします。 　

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回答No.1

第1問 lim_{x→0}tan^-1(1/x^2) tan^-1(1/x^2)＝θ と置くと, 1/x^2＝tanθ x→0のとき, (1/x^2)→+∞ なので, 与式は tanθ→+∞ となるθ(一般には－π/2＜θ＜π/2 だが, 極限なので－π/2≦θ≦π/2) を表し, (与式)＝π／2 第2問 lim_{x→0}(sin^(-1)x/tanx) [←これでいい?] sin^(-1)x＝θ と置くと, x＝sinθ より sin^(-1)x/tanx＝θ／tan(sinθ)＝{sinθ／tan(sinθ)}{θ／sinθ} より, x→0のとき θ→0で sinθ→0にも注意すると {sinθ／tan(sinθ)}→1 {θ／sinθ}→1 より (与式)＝1・1＝1

goosasuke
質問者

お礼

ありがとうございました。よくわかりました。もっと勉強したいと思います。

その他の回答 (1)

noname#24477
noname#24477
回答No.2

arctan,arcsinをどのような範囲で考えるかが問題のように思います。 -π/2＜arctanx＜π/2と考えれば 1/x^2→∞なので、lim　tan＾-1（1/x^2) ＝π/2 でいいのかな。 範囲を一つの範囲に絞らなければ多価関数で決まらない。 ２つ目は θ＝arcsinxとおくと ｘ＝sinθ　 この場合も範囲を限定してθが１つの値になるようにします。 θ→πや２πのときはおもしろくない。（ｘのプラスマイナスで決まらなくなる ∞，-∞） 問題としておもしろいのはθ→０のときでしょう。 ｘ→０のときθ→０とすると lim（arcsinｘ/tanｘ）＝lim（θ/tan(sinθ）） ＝lim（（θ/sinθ）/（tan(sinθ)/sinθ） ＝lim（（θ/sinθ）/（tanx/x））＝1/1＝１ 自信ありとしましたが半分くらいかな。

goosasuke
質問者

お礼

ありがとうございました。勉強になります。

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