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三角関数の入った式の極限値
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三角関数の半角の公式や倍角の公式を利用して sin(t)/t → 1 (t→0) の形を作ります。 極限の引数の式を変形します。 {tan(x)-sin(x)}/x^3 =tan(x){1-cos(x)}/x^3 =sin(x)/cos(x) 2{sin(x/2)}^2 /x^3 ←半角の公式 {sin(x/2)}^2={1-cos(x)}/2 を利用。 =2sin(x/2)cos(x/2)/cos(x) 2{sin(x/2)}^2 /x^3 ←倍角の公式 sin(x)=2sin(x/2)cos(x/2) を利用。 =4cos(x/2)/cos(x) {sin(x/2)}^3/x^3 =(1/2)cos(x/2)/cos(x) {sin(x/2)/(x/2)}^3 =(1/2)cos(t)/cos(2t) {sin(t)/t}^3 ← t=x/2 で置換。 従って、x→0 での極限は t→0 での極限になりますので、次のようになります。 (与式) =lim[t→0] (1/2)cos(t)/cos(2t) {sin(t)/t}^3 =(1/2) 1/1 ×1^3 (∵ t→0 で cos(t)→0, cos(2t)→0, sin(t)/t→1 ) =1/2
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- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
tan と sin をテイラー展開すれば、 式をこねくりまわさずに済みます。 tan x = x + (2/6)x^3 + T, lim[x→0] T/x^3 = 0. sin x = x - (1/6)x^3 + S, lim[x→0] S/x^3 = 0. より、 lim[x→0] { (tan x) - (sin x) } / x^3 = lim[x→0] { 1/2 + T/x^3 - S/x^3 }
お礼
回答ありがとうございます。 テイラー展開なんていうものがあるのですか! 高校生なので聞いたこともありませんでした。 また質問をするときもよろしくお願いします。
- naniwacchi
- ベストアンサー率47% (942/1970)
こんばんわ。 >xが3乗になっていて難しくてわかりません。 見慣れていなくて、難しく感じているのだと思います。 三角関数の極限といえば、sin(x)/xの極限がありますよね。 まずは、それが使えないか考えてみては? ・x→ 0の極限なので、x^3は分母のままでよさそうですね。 (もし、x→ ∞を考えるようなときには、1/x= tとでも置き換えて t→ 0の極限を考えるようにします) ・あとは、sin(x)が分子に現れるように、こねくりまわしましょう。^^ sin(x)/xの形を意識すれば、そんなに難しい変形にはならないですよ。 ちなみに、この方針(sin(x)/xを使う)で計算できます。
お礼
sin(x)/xの形を使った式にならず、困っていました。 でも∞のときは逆数を使うことなど参考になりました。 ありがとうございました。
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すごいです。 まさか倍角公式や半角公式を使うとは思いませんでした。 やはり2行3行の途中式ですらすらと解ける問題ではないのですね。 もっと問題を解いてみようと思います。 ありがとうございました。