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ロピタルと微分で極限値を・・・。
次の極限値を求めてみたいのですが・・。 lim x→+0 (e^-1/x)/x lim x→∞ (tanx-x)/(x-sinx) 両方ともうまく∞/∞や0/0にすることが出来ずに悩んでいます。どう持ち込んでいけばいいのかお願いします。
- remonfuru-tu
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siegmund です. (1) > lim > x→+0 (e^-1/x)/x =log(e^-1/x)/logx > としてしまっていいのでしょうか? いや,そうじゃなくて f(x) = e^(-1/x) / x として lim{x→+0} f(x) の代わりに lim{x→+0} log[f(x)] を考えれば, という意味です. log[f(x)] = -(1/x) - log(x) ですが,x→+0 のとき第1項の 1(1/x) は-∞に行き, 第2項の -log(x) は +∞ に行きますが, 1/x の方が強いので, lim{x→+0} log[f(x)] = -∞ (つまり lim{x→+0} f(x) = 0) です. どちらが強いかは,lim{x→+0} [x/log(x)] を見ればよいわけで, それこそロピタルの定理が使えます. そんなことしなくても,0/0 の形ですから直接ロピタルの定理を使う手もありますね. {e^(-1/x)}' = (1/x^2) e^(-1/x) ですから. ちょっと慣れていれば,ojamanbo さんのようにしても,一目で見えます. (2) ほい,しまった,x→∞ でしたね. なんだか x→+0 と思いこんでしまった. で,ojamanbo さんの言われるように,x→∞ では振動してしまいます. まず,分母分子を x で割ります. g(x) = {[tan(x)/x]-1} / {1-[sin(x)/x]} -1≦sin(x)≦1 ですから,明らかに分母は 1 に近づきます. 一方,tan(x) はπ周期で -∞ から 0 を経由して +∞まで変化しますから, 分子もこの間 -∞ から 0 を経由して +∞ まで変化します. つまり,振動して極限値は定まりません. > 解き方はないのでしょうか? 極限値なし(不定)というより仕方がありません. > それとも問題のミス? それは回答者には判定不能です. 極限値を求めよ,という問題には「不定」も当然含まれますから.
その他の回答 (2)
1問目は1/xをtと置くと t/(e^t) ただし t→∞ の形になります。これだけで結果はほぼ明らかといえます。 2問目はx→∞だと振動してしまいますから x→0でしょうね。このとき tanx/x→1 や sinx/x→1 であることから0/0 の不定形で、問題として成立すると思います。
- siegmund
- ベストアンサー率64% (701/1090)
(1) log をとってみてはいかがでしょう. (2) ロピタルの定理を2度使えば? 別の言い方をするなら, tan(x),sin(x) のマクローリン展開で x^3 まで取ればいいでしょう.
補足
(1)についてでlogは勝手にとってもいいのでしょうか? lim x→+0 (e^-1/x)/x =log(e^-1/x)/logx としてしまっていいのでしょうか?
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いえ、2問目は∞なんです。なので困っています。 解き方はないのでしょうか? それとも問題のミス?