ロピタルの定理

質問

極限の問題で、次の2つの問題が解けません。
（1)lim[x→0] ((tanx -x)/(x-sinx))

(2)lim[x→0] (1/(sinx)^2 -1/x^2)

答えが(1)2 (2)1/3　らしいのですが途中計算がよくわかりません。
おそらくロピタルの定理を使うのでしょうが、途中で行き詰ってしまいます。

だれか教えてください。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
単純にロピタルを適用するだけと思いますが？
(tanx)'=(secx)^2=1/(cosx)^2　の公式も使う。

lim[x→0] (tanx -x)/(x-sinx) ←ロピタル適用
=lim[x→0] ((secx)^2 -1)/(1-cosx) ←secx=1/cosx代入
=lim[x→0] (1-(cosx)^2)/((1-cosx)(cosx)^2)　←分子因数分解
=lim[x→0] (1+cosx)(1-cosx)/((1-cosx)(cosx)^2)　←(1-cosx)で約分
=lim[x→0] (1+cosx)/(cosx)^2　←これなら極限をとれる
=(1+1)/1^2
=2

(2)
三角関数の式の変形（2倍角の公式）とロピタルの定理を２回適用し、
lim[x→0](sinx)/x=1　を使えばできる。

lim[x→0] (1/(sinx)^2 -1/x^2)
=lim[x→0] (x^2-(sinx)^2)/(x^2*(sinx)^2)
=lim[x→0] (1+sinx/x)(x-sinx)/(x*(sinx)^2)
=lim[x→0] (1+sinx/x)*lim[x→0] (x-sinx)/(x(sinx)^2)
=2lim[x→0] (x-sinx)/(x(1-cos(2x))/2)
=4lim[x→0] (x-sinx)/(x(1-cos(2x))) ←ロピタル適用
=4lim[x→0] (1-cosx)/(1-cos(2x)+2xsin(2x)) ←ロピタル適用
=4lim[x→0] sinx/(4sin(2x)+4xcos(2x))
=lim[x→0] sinx/(sin(2x)+xcos(2x)) ←分子・分母をxで割る
=lim[x→0] (sinx/x)/(2*sin(2x)/(2x)+cos(2x))
=1/(2+1)=1/3

お礼

丁寧に回答ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

「ロピタルの定理を使う」と思うんだったら, 使ってみたら?

補足

途中計算がわからないから質問してるんです。