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ロピタルの定理の質問
ロピタルの定理の質問 以下の問題の解き方を教えてください。 lim X→π/2 {(1+tanX)/(-1+tanX)}^tanX 学校の宿題で出た問題です。 私が考えたのは両辺logをとる方針か、tanXをsinXとcosXに分解する方針なんですが、上手くいきません。 よかったらよろしくお願いします。
- appplenjoy
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h = 1/tan x で置換したらよいのでは? lim[x→π/2] { (1 + tan x)/(-1 + tan x) }^tan x = lim[h→0] { (1 + 1/h)/(-1 + 1/h) }^(1/h) = lim[h→0] exp log { (h + 1)/(-h + 1) }^(1/h) = exp lim[h→0] (1/h){ log(1 + h) - log(1 - h) } = exp lim[h→0] log(1 + h) - log(1) }/h + { log(1 - h) - log(1) }/(-h) (d/dx) log x = 1/x を使って、 上式 = exp( 1/1 + 1/1 ) = e^2。
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- naniwacchi
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おはようございます。 ロピタルの定理を用いなくても、計算できそうな感じですが・・・ まず、x→π/2- 0のとき tan(x)→ +∞となりますね。そこで、tan(x)= tとおくことにします。 すると、 [{ 1+ tan(x) }/{ -1+ tan(x) }]^tan(x) = { (1+t)/(-1+t) }^t = { (1+1/t)/(1-1/t) }^t (★:{ }の中で分母・分子を tで割る) この値を一度 Aとでもおくことにすると、 log(A) = log((1+1/t)^t)- log((1-1/t)^t) = log((1+1/t)^t)- log((1-1/t)^{(-t)*(-1)}) → log(e)- log(e^(-1))= 2 よって、A→ e^2(x→π/2) ★のところで、ダイレクトに t乗を分母・分子にばらして計算してもいいですね。 x→π/2+ 0(右極限)を考えるときには、#1さんも書かれているとおり t= -sとでも置き直せばいいと思います。
- aquatarku5
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y=tanXとおいて、対数をとると、 {(1+tanX)/(-1+tanX)}^tanX=y・log{(1+y)/(-1+y)} y→+∞については、 lim_{y→+∞}{y・log{(1+y)/(-1+y)} =lim_{y→+∞}{ylog(1+y)}-lim_{y→+∞}{ylog(-1+y)} …(※) =lim_{y→+∞}{log(1+y)/(1/y)}-lim_{y→+∞}{log(-1+y)/(1/y)} ここでロピタルの定理を適用 =lim_{y→+∞}{-y^2/(1+y)}-lim_{y→+∞}{-y^2/(-1+y)} =lim_{y→+∞}[{-y^2(-1+y)+y^2(1+y)}/(1+y)(-1+y)] =lim_{y→+∞}{2y^2/(y^2-1)} =2 y→-∞については、t=-yとおいて、 lim_{t→+∞}{-tlog{(1-t)/(-1-t)} =lim_{t→+∞}{-tlog{(t-1)/(t+1)} =-lim_{t→+∞}{tlog(t-1)}+lim_{t→+∞}{tlog(t+1)} これは(※)と同じなので, =2 以上から,コタエ=e^2
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