h = 1/tan x で置換したらよいのでは？
lim[x→π/2] { (1 + tan x)/(-1 + tan x) }^tan x
= lim[h→0] { (1 + 1/h)/(-1 + 1/h) }^(1/h)
= lim[h→0] exp log { (h + 1)/(-h + 1) }^(1/h)
= exp lim[h→0] (1/h){ log(1 + h) - log(1 - h) }
= exp lim[h→0] log(1 + h) - log(1) }/h + { log(1 - h) - log(1) }/(-h)
(d/dx) log x = 1/x を使って、
上式 = exp( 1/1 + 1/1 ) = e^2。
投稿日時 - 2010-05-25 22:24:38
12人が「このQ&Aが役に立った」と投票しています
ベストアンサー以外の回答（2件中 1～2件目)
おはようございます。
ロピタルの定理を用いなくても、計算できそうな感じですが・・・
まず、x→π/2- 0のとき tan(x)→ +∞となりますね。そこで、tan(x)＝ tとおくことにします。
すると、
[{ 1+ tan(x) }/{ -1+ tan(x) }]^tan(x)
＝ { (1+t)/(-1+t) }^t
＝ { (1+1/t)/(1-1/t) }^t （★：{ }の中で分母・分子を tで割る）
この値を一度 Aとでもおくことにすると、
log(A)
＝ log((1+1/t)^t)- log((1-1/t)^t)
＝ log((1+1/t)^t)- log((1-1/t)^{(-t)*(-1)})
→ log(e)- log(e^(-1))＝ 2
よって、A→ e^2（x→π/2）
★のところで、ダイレクトに t乗を分母・分子にばらして計算してもいいですね。
x→π/2+ 0（右極限）を考えるときには、#1さんも書かれているとおり t＝ -sとでも置き直せばいいと思います。
投稿日時 - 2010-05-25 08:55:02
y=tanXとおいて、対数をとると、
{(1+tanX)/(－1+tanX)}^tanX=y・log{(1+y)/(－1+y)}
y→+∞については、
lim_{y→+∞}{y・log{(1+y)/(－1+y)}
=lim_{y→+∞}{ylog(1+y)}-lim_{y→+∞}{ylog(－1+y)} …（※）
=lim_{y→+∞}{log(1+y)／(1/y)}-lim_{y→+∞}{log(－1+y)／(1/y)}
ここでロピタルの定理を適用
=lim_{y→+∞}{-y^2/(1+y)}-lim_{y→+∞}{-y^2/(－1+y)}
=lim_{y→+∞}[{-y^2(-1+y)+y^2(1+y)}/(1+y)(-1+y)]
=lim_{y→+∞}{2y^2/(y^2-1)}
=2
y→-∞については、t=-yとおいて、
lim_{t→+∞}{-tlog{(1-t)/(-1-t)}
=lim_{t→+∞}{-tlog{(t-1)/(t+1)}
=-lim_{t→+∞}{tlog(t-1)}+lim_{t→+∞}{tlog(t+1)}
これは（※）と同じなので,
=2
以上から,コタエ=e^2
投稿日時 - 2010-05-25 06:19:39
