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極限の範囲の証明です。お願いします。
kabaokabaの回答
問題が安易とかいうよりも あなたの予備知識が不明なのでどうにもこうにも. あなたが大学生で,εδを履修済みであれば 一言「収束の定義より明らか」です. #f -> 0 と |f| ->0 は同値というか。。定義そのもの ##これで意味が分からなかったら ##収束の定義をよく見直してください あなたが高校生で微積分を習い始めたばかりであるならば, これを厳密に証明することはできません. そもそも高校の範囲では極限の定義は厳密にはなされません. ちなみにf(x)の値で場合わけすると 正負が交互にでてくるような場合に議論が曖昧になります. ==================== まず,高校生であることを前提にしてみます. まず,Xが点aに「近づく」ということを考えます. 「近づく」というのは「距離が0になっていく」ということです. 二点Xとaの距離とは,絶対値を用いて |X-a| のことです. ということは 「Xが点aに近づく」ということは 「|X-a| が0に近づく」 ということです. ここで,a=0,X=f(x)とすると 「f(x)が0に近づく」ということは 「|f(x)| が0に近づく」 ということ. すなわち, lim f(x)=0 ⇒ lim |f(x)| =0 です. 当然,逆もいえます. ここで,x -> a,x -> ±∞ には触れてませんが この大雑把な議論では f(x)の挙動だけが必要なので触れる必要がありません. これを大学生風に書き直すと, x -> a のとき f(x) -> 0 とする. つまり, 任意の正の数εに対して,ある正の数δが存在して |x-a| < δ ならば |f(x)-0|<ε このとき, | |f(x)| - 0 | = | f(x) | = | f(x) - 0 | であるので 任意の正の数εに対して,ある正の数δが存在して |x-a| < δ ならば | |f(x)| -0|<ε つまり, x -> a のとき |f(x)| -> 0 である. 次に,x -> ∞ のとき f(x) -> 0 とする. つまり, 任意の正の数εにたいして,あるM>0が存在して x>M ならば |f(x)-0|<ε である.以下は x->aのときと同様. 次に,x -> -∞ のとき f(x) -> 0 とする. つまり, 任意の正の数εにたいして,あるM>0が存在して x<-M ならば |f(x)-0|<ε である.以下は同様. かなり冗長ですがこんな感じ
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