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記憶があいまいなんですが。。
記憶があいまいですいません。 以前テレビで 1/2+1/3+1/4+...=-1/12(無限大まで計算) 見たいなのをやっていました。上の式の記憶はかなりあいまいですが、こんな形だったと記憶しています。 上の式を導くには複素～法（だったかな??）みたいなのを用いるといっていたんですが、左辺は負になりようがないと思うんです。 どうなんですかね??参考になるサイトがあれば教えてください。
- kumakuman3
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全複素平面で定義されたゼータ関数はs>1ではζ(s)=1+1/2^s+1/3^s+… という計算が成り立つのであって、s≦1ではこの式のまま計算したので は成り立ちません。 なので、正確にはζ(-1)=-1/12ですが、あくまでもs≦1への拡張の「表 現」として、1+2+3+…=-1/12としています。 ゼータ関数の値として解釈するということです。 ですから本当に1,2,3,…を足しているのではありません。 本でも"1+2+3+…"=-1/12などと書いてある場合があり、" "がついてい ます。ゼータ関数の値として解釈する、ということを強調したもので あると思います。 なお、関数論に一致の定理というのがあり、解析接続される関数は 一意的に定まります。
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- zk43
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1/2+1/3+1/4+…=∞で、1+2+3+…=-1/12のことですね。 過去にも何回か質問にでたとおもいますが、これはゼータ関数 ζ(s)=1+1/2^s+1/3^s+…を全複素平面に解析接続して、s=-1における 値が-1/12という意味で、もちろん普通に1+2+3+…とやったのでは∞ になってしまします。 計算はφ(s)=1-1/2^s+1/3^s-…という関数を導入してちょっとテクニカ ルな方法でできるのですが、書くのが面倒なので省略しますが、計算は オイラーが行い、約１００年後にリーマンが解析接続という概念によっ て意味づけをしたものです。 前にオイラー生誕３００年という朝日新聞の記事にも出ていましたね。 「オイラー リーマン ラマヌジャン 黒川信重著」という本が参考 になると思います。また、これらやゼータ関数というキーワードで検索 しても関連のものがいろいろあると思います。
お礼
有難うございます。 1+2+3+…=-1/12 のことだと思います。 で、前から思っていた疑問なんですが、 常識の左辺は明らかにというか、負になるはずないですよね?? ということは解析接続が間違っているということにはならないんですか?? わかりづらい質問ですいません(´・ω・`)
- ringouri
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式間違えてますけど...この話題でしょうか。 http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/346_zeta.htm
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