• ベストアンサー

k= 1/a + 1/b + 1/c + 1/d ＜1 の最大値

a,b,c,d(a≦b≦c≦d)は自然数で， k= 1/a + 1/b + 1/c + 1/d ＜1 を満たしている． k の最大値と，そのときの a,b,c,d の値を求めたいのですが、、、。 a=2。としてよいでしょうか？ ４変数の問題をn変数に変えても、a,b,c,dの値は常に等しいでしょうか?

  • dfhsds
  • お礼率31% (100/319)

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • zk43
  • ベストアンサー率53% (253/470)
回答No.4

この問題、面白いなと思ってもう少し考えてみたのですが、 k=1/a(1)+1/a(2)+…+1/a(n) としてkが最大になるように数列a(n)を決めていくと、 a(1)=2,a(2)=3,a(3)=7,a(4)=43,a(5)=1807,a(6)=3263443,… となって、 a(n)=a(1)a(2)…a(n-1)+1 という漸化式を満たすようです。 積の形になっているので、a(n)は爆発的に増えていきます。 a(2)を決めるときは1/2に加えるkが1を超えない最大のものということ で、1/3。よって、a(2)=3。これは漸化式を満たす。 そして、1/2+1/3=5/6 a(3)を決めるときは5/6に加えるkが1を超えない最大のものということ で、1/7。よって、a(3)=7。これは漸化式を満たす。7=2×3＋1。 そして、1/2+1/3+1/7=41/42 このように、ある項までの1/a(1)+1/a(2)+…+1/a(k)は、 {a(1)a(2)…a(k)-1}/a(1)a(2)…a(k)の形になっている。 そして、次に足すのは1/{a(1)a(2)…a(k)+1}である。 よって、a(k+1)=a(1)a(2)…a(k)+1 このようなメカニズムになっているようです。

その他の回答 (3)

noname#47975
noname#47975
回答No.3

よく間違いやすい事柄だと思いますが、 1/a + 1/b + 1/c < 1 1/c < 1 - （1/a ＋ 1/b）とし、 1/a + 1/b ≦ 5/6より、 1/c < 1/6より、 c = 7のとき最大値をとる可能性がある というのは厳密性にかけてしまうと思います。 反例を申し上げると、1/3 + 1/3 + 1/4 + 1/4 < 1の場合 は1/c < 1/6を満たしません。 正確なｃの範囲を定めるためには、以下のような形になるかと思います。 1/c < 1 - 1/a - 1/bにおいて、 1/c < 1 - (1/a + 1/b) a≦b≦cより、 1/a ≧ 1/c 1/b ≧ 1/cとなる事から、 1/c < 1 - (1/a + 1/b) ≦ 1 - (1/c + 1/c) 1/c < 1 - 2/c 3/c < 1 1/c < 1/3 c > 3より、 c≧4 まず、7≦cの範囲において、 1/a ≦ 1/2、 1/a ≦ 1/2 かつ1/a + 1/b < 1より、1/b ≦ 1/3 、 7≦cより、1/c ≦　1/7より、 1/a + 1/b + 1/c ≦ 1/2 + 1/3 + 1/7 = 41/42 < 1となる事から、 a = 2 , b = 3 , c = 7のとき最大になるというところまでは証明されて いますね．．。 後、4≦c≦7の範囲において、それを超える最大値が存在しない事も 同時に証明しなければならないと思います。 Ｐ．Ｓ． ４変数くらいならば、範囲の絞込み・代入を繰り返して最大値を求める事 は可能ですが、ｎ変数となるとかなりの難題のように思えます。 ちなみに、４変数のときは、a = 2 , b = 3 , c = 7 , d = 42である事は 確認いたしました…。

  • hossyou
  • ベストアンサー率48% (83/171)
回答No.2

a=2。としてよいでしょうか？⇒ＹＥＳ ４変数の問題をn変数に変えても、a,b,c,dの値は常に等しいでしょうか?⇒ＹＥＳ まず1変数の場合 aは自然数で， k= 1/a ＜1 を満たしている． k の最大値と，そのときの a の値 aは自然数kの最大値はk<1ならa=2のときk=1/2 2変数の場合 a,b(a≦b)は自然数で， k= 1/a + 1/b ＜1を満たしている． k の最大値と，そのときの a,b の値 （１）a=2のときk=1/2+1/b<1　∴1/b<1-1/2=1/2 bは2以上の自然数だからb=3のときk=1/2+1/3が最大 （２）a>2のときk=1/a+1/b<1　∴1/b<1-1/a 　1/aはa=2のとき最大で1/2だから1/b<1-1/a<1-1/2=1/2 したがって1/bはb=3のとき最大となりうる 　したがってk=1/a+1/b<1/a+1/3<1/2+1/3 したがってa>2のときkは最大値とならない。 （１）（２）よりkはa=2,b=3のとき最大 3変数のとき a,b,c(a≦b≦c）は自然数で， k= 1/a + 1/b + 1/c ＜1 を満たしている． k の最大値と，そのときの a,b,c の値 （１）a=2,b=3のとき k=1/2+1/3+1/c<1 ∴1/c<1-1/2-1/3=1/6 ｃは3以上の自然数だからc=7のときk=1/2+1/3+1/7が最大 （２）a=2,b=3以外のとき K=1/a+1/b+1/c<1 ∴1/c<1-(1/a+1/b) 1/a+1/bはa=2.b=3のとき最大で5/6だから1/c<1-(1/a+1/b)<1-5/6=1/6 したがって1/cはc=7のとき最大となりうる したがってk=1/a+1/b+1/c<1/a+1/b+1/7<1/2+1/3+1/7 したがって、a=2,b=3以外のときはkは最大となりえない （１）（２）よりkはa=2.b=3,c=7のとき最大 以下同様

  • zk43
  • ベストアンサー率53% (253/470)
回答No.1

分母が小さい方がｋは大きくなるので、なるべく分母の小さい方から 考えていきます。 まず、ａ＝１はだめなので、ａ＝２ ｋ＝１／２＋１／ｂ＋１／ｃ＋１／ｄ ｂ＝２とするとｋが１を超えるのでだめで、ｂ＝３ ｋ＝１／２＋１／３＋１／ｃ＋１／ｄ 　＝５／６＋１／ｃ＋１／ｄ ｃ≦６とするとｋが１を超えるのでだめで、ｃ＝７とすると、 ｋ＝５／６＋１／７＋１／ｄ 　＝４１／４２＋ｄ ｄ≦４２とするとｋが１以上になってしまうのでだめで、ｄ＝４３とす ると、 ｋ＝４１／４２＋１／４３＝１８０５／１８０６ ｋが１未満に収まった。非常に１に近い。 これが最大と思われますが、検証してみてください。 一般のｎ変数の場合は？一般的な解法があるのか？ 分かりません・・・ ｋ＜１という条件がなければ、ｋ≦ｎ／ａからｎ／ａが最大になるので すが、こんなのは問題にならないか。

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • a+b+2c=4k(a≧0,b≧0,c≧0,k>0

    a+b+2c=4k(a≧0,b≧0,c≧0,k>0) abcの最大値とその時のa,b,cを求めよ。 という問題が分かりません。助けてください。よろしくお願いします。

  • (a+c)(a-c)=(d+b)(d-b)でa,b,c,dがそれぞれ異なる自然数の時

    (a+c)(a-c)=x (d+b)(d-b)=x とした時、xが成立する最小の自然数は15だというのはわかるのですが、それを証明する術を教えてください。

  • 最大値（ｃ＋＋）

    ３つの数の最大値をArrayを使って求めるProgramを書いてます。何とかそれっぽくできたのですが、実行すると、一番初めに入れた数が最大値であると、表示されてしまいます。 なにが問題なのでしょうか？ #include<iostream.h> int max(int n[], int size){ int max= n[0]; for (int i=1; i>size; i++) if(n[i]>max) max= n[i]; return max; } int main(){ int a,b,c; cout<<" ３つの数の最大値を求めます。順に３つの数字をいれてください。"<<endl; cin>>a>>b>>c; int d[]={ a,b,c }; cout<<"max :"<<max(d,sizeof d/ sizeof d[0])<<endl; return 0; }

  • n,a,b,c,dは０または正の整数、

    n,a,b,c,dは０または正の整数、 a^2+b^2+c^2+d^2=n^2-6 a+b+c+d<=n a=>b=>c=>d のとき、これを満たす(n,a,b,c,d)の組をすべて求めよ。 最初にnの値を決めないことには、a,b,c,dも考えられないのでないかと思い nだけの不等式を考えようとしましたが、不等号の向きでうまく押さえられません。 よろしくお願いします。

  • ４つの自然数Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄが次の条件を満たしている。ＢはＡより２大きい

    ４つの自然数Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄが次の条件を満たしている。ＢはＡより２大きい、Ｃは Ｂの２倍より１小さい、ＤはＣの２乗である。４つの数の合計は９８である。Ａの数 をｘとして次の問いに答えなさい。 （１） Ｄの数をｘを用いて表しなさい。 （２） ＢとＣの和を求めなさい。 （１）はわかりましたが（２）の解き方がよくわかりません。 わかる方いたら、教えて下さい。

  • にゃんこ先生の自作問題、Σ[a≠b,b≠c,c≠a, a,b,c∈{1,2,3,…,n}]abc

    にゃんこ先生といいます。 a,b,c∈{1,2,3,…,n} とします。 Σ[a≠b]ab ={Σ[k=1～n]k}^2 - Σ[k=1～n]k^2 ={n(n+1)/2}^2 - n(n+1)(2n+1)/6 =n(n+1)(3n^2-n-2)/12 Σ[a<b]ab =(1/2)Σ[a≠b]ab =n(n+1)(3n^2-n-2)/24 Σ[a≦b]ab =Σ[a<b]ab + Σ[a=b]ab =n(n+1)(3n^2-n-2)/24 + n(n+1)(2n+1)/6 =n(n+1)(3n^2+7n+2)/24 ですが、 Σ[a≠b,b≠c,c≠a]abc や Σ[a<b<c]abc や Σ[a≦b≦c]abc また、それらをm変数に拡張したものはどういった公式ににゃるのでしょうか？ にゃにかうまい考えがある気がするのですが、思いつきません。

  • a^(b^(c^(・・・)))

    正数列(a_n)が与えられていて1に収束するとします。 各nについて c(n,n)=a_n c(n,k)=(a_k)^c(n,k+1)（1≦k≦n-1） によって定まるc(n,1),・・・,c(n,n)を用い、 b_n=c(n,1)によって数列(b_n)を定めるとします。 (b_n)が収束しない(a_n)の例はありますか？

  • 自然数a,bに対し、c=4a+7b , d=3a+4b　と定める。aと

    自然数a,bに対し、c=4a+7b , d=3a+4b　と定める。aとbが互いに素で、。cとdがどちらも素数pの倍数であるとき、pを求めよ。 全く方針が分かりません。ヒント及び解法を教えていただきたいです。よろしくお願いします。

  • a>b、c>dならばa-d>b-c

    a>b、c>dならばa-d>b-c というのは正しいですか？ 何かで見たと思うのですが何で見たのかわからなくて確認ができません。 よろしくお願いします。

  • (a+b)(b+c)(c+a)の値を求めよという問題

    f(x)=x^2-kとする。相異なる定数a,b,cに対してf(a)=b、f(b)=c、f(c)=aが成り立つとき(a+b)(b+c)(c+a)の値を求めよ という問題を考えています。 条件より a^2-k=b b^2-k=c c^2-k=a というのはわかったのですがここから求値式にどのように変形すればいいのかがわかりません。(a+b)(b+c)(c+a)を展開しても意味がなさそうで・・・。条件からわかった式をなんとか変形していきたいのですが思いつきません。 回答いただければ幸いです。よろしくお願いします

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する