• ベストアンサー

a+b+2c=4k(a≧0,b≧0,c≧0,k>0

a+b+2c=4k(a≧0,b≧0,c≧0,k>0) abcの最大値とその時のa,b,cを求めよ。 という問題が分かりません。助けてください。よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • masa072
  • ベストアンサー率37% (197/530)
回答No.2

確かに相加相乗を使いますが、先ほどの式は違います。 n個の正数があるとき、 相加平均はn個の総和をnで割ったもの。 相乗平均はn個の積のn乗根をとったもの。 それに対して常に(相加平均)≧(相乗平均)が成り立ち、等号はn個の正数の値が全て等しいときになります。 今回はa,b,2cと3数があるので、 相加平均は(a+b+2c)/3 相乗平均は(a*b*2c)^(1/3)となり、 (a+b+2c)/3≧(2abc)^(1/3)が成り立ちます。 a+b+2c=4kより、4k/3≧(2abc)^(1/3)となります。 両辺を3乗すると、64k^3/27≧2abcで、abc≦32k^3/27 等号成立時がabcの最大値となるので、a=b=2c、即ちa=b=4k/3,c=2k/3のとき最大値32k^3/27となります。

aogorou
質問者

お礼

3つになったら3乗根になるんですね! 平均ですもんね。 詳しくありがとうございました。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

その他の回答 (1)

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

「相乗平均」って知ってますか?

aogorou
質問者

お礼

等号成立を調べるんですね。すいません基本的な問題でしたね。回答ありがとうございました。

aogorou
質問者

補足

a+b+2c≧2√2abc 2k^2≧abc これであってますか? この時のa,b,cがよくわからないです。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • a^2+b^2+c^2=3 のとき、a^3+b^3+c^3+3abc<

    a^2+b^2+c^2=3 のとき、a^3+b^3+c^3+3abc<=6 を示せ。 (ただし,a>0,b>0,c>0)これは、既出の問題で、添削をしてもらい、間違いを指摘してもらいました。 いろいろ考えましたが、良い考えがでません。 添削してもらった解答は、c<=b<=a と置いて、これより、c<=1 が分かる。 また、相加相乗を使うと、abc<=1 となるので、証明する式は、 a^3+b^3+c^3<=3 となる。ここで、c<=1だから、a^3+b^3+c^3<=a^3+b^3+1^3となるので、 a^3+b^3<=2を a^2+b^2+1^2=3,つまり、a^2+b^2=2のもとで示せばよい。 としてしまいましたが、c=1でa^3+b^3+c^3が最大になるとは限らないので、ここで考えは 破綻しました。 良い考えがありましたら、よろしくお願いします。

  • k= 1/a + 1/b + 1/c + 1/d <1 の最大値

    a,b,c,d(a≦b≦c≦d)は自然数で, k= 1/a + 1/b + 1/c + 1/d <1 を満たしている. k の最大値と,そのときの a,b,c,d の値を求めたいのですが、、、。 a=2。としてよいでしょうか? 4変数の問題をn変数に変えても、a,b,c,dの値は常に等しいでしょうか?

  • abc=a+b+c (1≦a≦b≦c) を満たす整数a,b,c

    タイトルの通り、 1≦a≦b≦c かつ abc=a+b+c を満たす整数a,b,cの組を求めよ。 という問題なのですが… (a,b,c)=(1,2,3) しかありませんよね? それはわかるのですが、この答えはぱっと見で思いついただけで、実際に文字を使ってそれが正しいことが証明できません。 どのようにやるのでしょうか。 お願いします。

  • にゃんこ先生の自作問題、Σ[a≠b,b≠c,c≠a, a,b,c∈{1,2,3,…,n}]abc

    にゃんこ先生といいます。 a,b,c∈{1,2,3,…,n} とします。 Σ[a≠b]ab ={Σ[k=1~n]k}^2 - Σ[k=1~n]k^2 ={n(n+1)/2}^2 - n(n+1)(2n+1)/6 =n(n+1)(3n^2-n-2)/12 Σ[a<b]ab =(1/2)Σ[a≠b]ab =n(n+1)(3n^2-n-2)/24 Σ[a≦b]ab =Σ[a<b]ab + Σ[a=b]ab =n(n+1)(3n^2-n-2)/24 + n(n+1)(2n+1)/6 =n(n+1)(3n^2+7n+2)/24 ですが、 Σ[a≠b,b≠c,c≠a]abc や Σ[a<b<c]abc や Σ[a≦b≦c]abc また、それらをm変数に拡張したものはどういった公式ににゃるのでしょうか? にゃにかうまい考えがある気がするのですが、思いつきません。

  • (a³+b³+c³-3abc)を(a+b+c)で割

    (a³+b³+c³-3abc)を(a+b+c)で割る時の手順を細かく教えてください。

  • a,b,c,>0で

    a,b,c,>0で a^2+b^2+c^2=3 のときa^3+b^3+c^3+3abc≦6 を示したいです。 教えてくださいお願いします

  • a^4+b^4+c^4≧b^2c^2+c^2…

    文字は正とする。 a^4+b^4+c^4≧b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2≧abc(a+b+c) の証明をどうか教えていただけますようお願いいたします。

  • ≪問題≫a+b+c=3を満たす3つの正の数a,b,cに対して,F=(3

    ≪問題≫a+b+c=3を満たす3つの正の数a,b,cに対して,F=(3-a)(3-b)(3-c)とおく。このとき,a,b,cが条件を満たしながら動く時のFの最大値を求めよ。 ≪自分の考え≫ 展開してみても、特に何も見えず… 文字を消したとしても、1つまで… どうしたいいのかわかりません^^;

  • (b+c)(c+a)(a+b)≧8abc

    文字は正とする。   (b+c)(c+a)(a+b)≧8abc の証明をどうか教えていただけますようお願いいたします。

  • (b+c)(c+a)(a+b)≧8abc

    文字は正とする。 (b+c)(c+a)(a+b)≧8abc の証明をどうか教えていただけますようお願いいたします。