a^2+b^2+c^2=3の条件下でのa^3+b^3+c^3+3abcの最大値を示せ!
- 質問文章の条件下で、a^3+b^3+c^3+3abcの最大値を示す方法を教えてください。
- 質問文章の条件a^2+b^2+c^2=3のもとで、a^3+b^3+c^3+3abcの最大値を求める方法を知りたいです。
- 既出の問題で、条件a^2+b^2+c^2=3のもとで、a^3+b^3+c^3+3abcの最大値を示す方法を教えてください。
- ベストアンサー
a^2+b^2+c^2=3 のとき、a^3+b^3+c^3+3abc<
a^2+b^2+c^2=3 のとき、a^3+b^3+c^3+3abc<=6 を示せ。 (ただし,a>0,b>0,c>0)これは、既出の問題で、添削をしてもらい、間違いを指摘してもらいました。 いろいろ考えましたが、良い考えがでません。 添削してもらった解答は、c<=b<=a と置いて、これより、c<=1 が分かる。 また、相加相乗を使うと、abc<=1 となるので、証明する式は、 a^3+b^3+c^3<=3 となる。ここで、c<=1だから、a^3+b^3+c^3<=a^3+b^3+1^3となるので、 a^3+b^3<=2を a^2+b^2+1^2=3,つまり、a^2+b^2=2のもとで示せばよい。 としてしまいましたが、c=1でa^3+b^3+c^3が最大になるとは限らないので、ここで考えは 破綻しました。 良い考えがありましたら、よろしくお願いします。
- 112233445
- お礼率59% (526/889)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数4
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
>a^3+b^3+c^3≦3が示された 反例 (√5/2)^2+(√5/2)^2+(√2/2)^2=3 (√5/2)^3+(√5/2)^3+(√2/2)^3>3
その他の回答 (1)
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
「よい考え方」ではありませんが.... 既に「a^2+b^2+c^2=3 から a^3+b^3+c^3≦3 は証明できない」と指摘したはずなんだけど.
お礼
既に「a^2+b^2+c^2=3 から a^3+b^3+c^3≦3 は証明できない」と指摘したはずなんだけど. 過去の投稿を探しましたが、見つけることができなく失礼しました。 次のようにも考えてみましたが、どうでしょうか。 a+b+c=p,ab+bc+ca=q,abc=r とおく。a^2+b^2+c^2=3 は p^2-2q=3 となる。 a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab+bc+ca)+3abc =p*(3-q)+3r =3p-p*(p^2-3)/2+3r =-p^3/2+3p+3r ここで、区間p>0,だから、また、極値がp=√3より、 極大値で、最大値をとる。 -p^3/2+3p+3r =3√3+3r...(1) 次に、a+b+c=√3だから、r<=1/3√3となり (1)<=3√3+√3/3=10√3/3<6 よって、a^3+b^3+c^3≦3が示された どうでしょうか。
関連するQ&A
- 既出問題 a>0,b>0,c>0で、
既出問題 a>0,b>0,c>0で、 a^2+b^2+c^2=3のとき、 a^3+b^3+c^3+3abc=<6の証明。 添削をお願いします。 a^3+b^3+c^3>=3abcより、 a^3+b^3+c^3+3abc=<2(a^3+b^3+c^3) よって、a^3+b^3+c^3=<3をしめせばよい。 ここで、c=<b=<aとすると、a^2+b^2+c^2=3より、 3c^2=<3で、c=<1。よって、a^3+b^3+c^3=<a^3+b^3+1 だから、a^3+b^3+1=<3、つまり、a^3+b^3=<2をしめせばよい。 c=1としているから、a^2+b^2+c^2=3にc=1に代入して、a^2+b^2=2 よって、a^2+b^2=2のもとで、a^3+b^3=<2をしめせばよい。 a=cosx,b=sinxとおくと、あきらかに、a^3+b^3=<2 以上よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- abc=a+b+c (1≦a≦b≦c) を満たす整数a,b,c
タイトルの通り、 1≦a≦b≦c かつ abc=a+b+c を満たす整数a,b,cの組を求めよ。 という問題なのですが… (a,b,c)=(1,2,3) しかありませんよね? それはわかるのですが、この答えはぱっと見で思いついただけで、実際に文字を使ってそれが正しいことが証明できません。 どのようにやるのでしょうか。 お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 因数分解せよ。 (a+b)(b+c)(c+a)+abc
因数分解せよ。 (a+b)(b+c)(c+a)+abc 解答は (a+b+c)(ab+bc+ca) とありますが、 何度やってみても私はこの解答を出せませんでした。 =(b+c)a^2 + (b^2+3bc+c^2)a + bc(b+c) ・・・ここまでは解るのですが、この先から解りません。 解説には、たすきがけで解答を導く方法がのっていましたが、この方法を用いず、計算する方法はありますでしょうか。(2乗の書き方がわかり辛くてすみません) たすきがけにとても時間をかけてしまい、地道に計算していく方法を知りたいのですが、教えていただければとても嬉しいです。よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- a^4+b^4+c^4≧b^2c^2+c^2…
文字は正とする。 a^4+b^4+c^4≧b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2≧abc(a+b+c) の証明をどうか教えていただけますようお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- a+b+c=k→a^2+b^2+c^2のM,m
図形における最大値、最小値の問題です(表題は、記号化したものです)。 次の(2)の解法を、どなたか教えていただけませんか。どうかよろしくお願いします。 (図は略させてください) AB=2,BC=3,CA=4 となる△ABCの内部の点Pから辺AB,BC,CAにそれぞれ 垂線PL,PM,PNを下ろす。このとき,次の問いの答えよ。 (1) 2PL+3PM+4PN が一定となることを証明せよ。 (2) (2PL)^2+(3PM)^2+(4PN)^2 の最小値と,最大値をとるときのPの位置を求めよ。 (1) △ABC=s とおくと,(1/2)(2PL+3PM+4PN)=s で,証明は簡単なのですが,(2)を解く場合、まず、相加・相乗で最小値はどうかと考えながら、、、あるいは三角関数?自分の数学力からして、すぐに行き詰ってしまいました。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- a^3+b^3+c^3-3abc について。
p=a^3+b^3+c^3-3abc (1) =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) (2) =(a+b+c)(a+bω+cω^2)(a+bω^2+cω) (3) (3)--->(2)--->(1) の展開で事足りますが、 (1)--->(2)は省略します。(2)--->(3)は、 q=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca =a^2-(b+c)a+(b^2-bc+c^2) =a^2-(b+c)a+{(ω)(ω^2)b^2+(ω^2+ω^4)bc+(ω)(ω^2)c^2} =a^2+{(ω+ω^2)(b+c)}a+{(bω+cω^2)(bω^2+cω)} =a^2+{bω+bω^2+cω+cω^2}a+{(bω+cω^2)(bω^2+cω)} =a^2+{(bω+cω^2)+(bω^2+cω)}a+{(bω+cω^2)(bω^2+cω)} ={a+(bω+cω^2)}{a+(bω^2+cω)} 変形している振りをしているだけで、 実際は逆算しているので他の方法をご教示下さい。 A= a b c c a b b c a detA=a^3+b^3+c^3-3abc を使うんじゃないかと思いますが、 行列も行列式も良く覚えていないので宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- a+b+2c=4k(a≧0,b≧0,c≧0,k>0
a+b+2c=4k(a≧0,b≧0,c≧0,k>0) abcの最大値とその時のa,b,cを求めよ。 という問題が分かりません。助けてください。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
確かに。 証明の間違いを確認します。 そうすると、この証明問題はそもそも成り立たないのでしょうか。