sinxのｘを複素数にしたような数学はあるのですか、

質問

表題の通りなのですが、質問の意味がないのかもしれないと思いますのでその点についても御教示いただければと思います。

回答No.8

info22 · ベストアンサー

＞ピタゴラスの定理も辺の長さを複素数にすると斜辺が入れ替わってしまいますか。

斜辺の長さをr(>0)、直角を挟む２辺の長さをそれぞれx(>0),(y>0>とおけば
ピタゴラスの定理は
x^2＋y^2＝r^2
となります。これをXY座標平面で考えれば半径r(>)の円の第一象限部分の1/4の円になります。
辺の長さx,yを負の領域まで拡張すれば直角三角形の直角以外の2つの頂点は、１つは原点O、他の１つは半径rの円周上にあります。円周上の頂点は、辺の長さx,yを負の領域まで拡張することで円全体の円周上に存在するようになります。

このように直角三角形の辺x,yを負の領域まで拡張しても
ピタゴラスの定理の
x^2＋y^2＝r^2
関係は崩れません。

＞斜辺が入れ替わってしまいますか。
しかし、(x,y)を複素数で置き換えるとピタゴラスの定理の式は変わって、
しまいますね。
(x,y)を(ix,y)または(x,iy)で置換してやるとそれぞれ
－x^2＋y^2＝r^2…（A)
x^2－y^2＝r^2…(B)
つまり、
y^2＝x^2＋r^2
x^2＝y^2＋r^2
と斜辺と他の辺が入れ換わってしまいますね。
（A)と（B)の式は双曲線の式になります（漸近線はy=±x）。

三角関数sin(x),cos(x),tan(x)のxをixで置換して生まれてきた
双曲線関数sinh(x),cosh(x),tanh(x)では三角関数と類似の公式や関係式が成立します（参考URLをご覧下さい）。
またこれらの関係は微分・積分でも役立っています。
∫sin(x)dx=-cos(x)+C→∫sinh(x)dx=cosh(x)+C
∫cos(x)dx=sin(x)+C→∫cosh(x)dx=sinh(x)+C
∫tan(x)dx=-ln(cos(x))+C→∫tanh(x)dx=ln(cosh(x))+C

∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x)+C→∫dx/√(1+x^2)=arcsinh(x)+C
∫dx(-1)/√(1-x^2)=arccos(x)+C→∫dx/√((x^2)-1)=arccos(x)+C
∫dx/(1+x^2)=arctan(x)+C→∫dx/(1-x^2)=arctanh(x)+C
ここで、arcsin、arccos、arctan はそれぞれsin^(-1)、cos^(-1)、tan^(-1)とも書きます。
この外、三角関数の積分に類似の積分が双曲線関数でも可能になり、不定積分できる積分や微分の公式が増加しました。

三角関数の公式が双曲線関数ではどうなるか調べてみても面白いでしょう。
ttp://matha.e-one.uec.ac.jp/~yyyamada/Lecture/Printo/hyptri.pdf
http://pal.las.osaka-sandai.ac.jp/~ichihara/Teaching/06S/Analysis2_H/no1.pdf

参考URL：

http://www.alcyone.com/max/reference/maths/hyperbolic.html

お礼

勉強の材料を沢山いただきまして何とお礼申しあげればよいか分かりません。