sinxのｘを複素数にしたような数学はあるのですか、

質問

表題の通りなのですが、質問の意味がないのかもしれないと思いますのでその点についても御教示いただければと思います。

回答No.4

info22

オイラーの公式は変数は複素数の場合でも成立するよう拡張されています。
以下のような hyperbolic sine/cosine/tanjent などの類似関数が定義され拡張されています。sinh(x), cosh(x), tanh(x)という関数で表されsin(x), cos(x), tan(x)と類似的な性質を持ちます。

exp(ix)=cos(x)+i*sin(x)
exp(-ix)=cos(x)-i*sin(x)

exp(ix)+exp(-ix)=2cos(x)
exp(ix)-exp(-ix)=2i*sin(x)

cos(x)=(1/2){exp(ix)+exp(-ix)}
sin(x)={1/(2i)}{exp(ix)-exp(-ix)}

cos(ix)=(1/2){exp(x)+exp(-x)}=cosh(x)
sin(ix)={1/(2i)}{exp(-x)-exp(x)}=i*sinh(x)

sinh(x)=(1/2){exp(x)-exp(-x)}
cosh(x)=(1/2){exp(x)+exp(-x)}
tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)

sinh(ix)=i*sin(x)
cosh(ix)=cos(x)

sin(x+iy)=sin(x)cos(iy)+cos(x)sin(iy)=sin(x)cosh(y)+i*cos(x)sinh(x)
cos(x+iy)=cos(x)cos(iy)-sin(x)sin(iy)=cos(x)cosh(y)-i*sin(x)sinh(x)

{sinh(x)}'=cosh(x)
{cosh(x)}'=sinh(x)

[{cosh(x)}^2]－[{sinh(x)}^2]＝1

などといった数学が展開されています（ここですべてを尽くすことはできません。）。

参考URL
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0

お礼

ご懇切に書いていただき誠にありがとうございます。勉強させていただきます。円と双曲線のような感じもあるのでしょうか。