- ベストアンサー
閉区間[-1,1]がコンパクトである事の証明は?
こんにちは。 閉区間[-1,1]がコンパクトである事はどうやって証明すればいいのでしょうか? RはT:={(a,b)∈2^R;a,b∈R}を位相として位相空間をなしますよね。 [-1,1]の開被覆の集合{A∈2^T;[-1,1]⊂∪[B∈A]B}:=C ∀A∈Cを採った時、どのように有限個のB1,B2,…,Bn∈Aを選べば [-1,1]⊂∪[i=1..n]Bi と出来るのでしょうか?
- みんなの回答 (4)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
その他の回答 (3)
- gururinbus
- ベストアンサー率53% (8/15)
- zk43
- ベストアンサー率53% (253/470)
- gururinbus
- ベストアンサー率53% (8/15)
関連するQ&A
- ”コンパクト”の定義について。集合、位相
集合論における、”コンパクト”の定義について質問です。 言い回しの違いがあるにせよ、以下の2種類があるようですが どちらが正しいのでしょうか? (その1) コンパクトであるとは、位相空間Xの任意の開被覆が、必ずXの有限被覆を部分集合として含むことである。 (その2) ある集合Aを、有限個の開集合の和で覆えるときにコンパクトという。 個人的には、(その1)の定義が正しいとおもっています。 ”位相空間”であることが、前提条件でないと 話が進まない気がしています。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 集合と位相の問題です。コンパクトについてなんですが良かったら回答お願いしますm(__)m
コンパクトの定義です。 『位相空間Xの任意の開被覆 {K_α}α∈A の中から 有限個の開集合 K_1、・・・・・、K_m をうまく選んで、 X=K_1∪・・・∪K_m となるとき、Xはコンパクトであるという』 (1)このコンパクトの定義で重要な部分を指摘して下さい。 (2)Rはコンパクトではないことを示して下さい。 よろしくおねがいしますm(__)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ザリスキー位相のコンパクト
ザリスキー位相のコンパクトについてどなたか教えてください。 位相空間の講義で出された問題ですが、何をどうしたら良いかわかりません。 どなたか、証明を解説して頂けると助かります。 問題 ザリスキー位相の任意の部分空間はコンパクトであることを示せ。 ザリスキー位相:O={A⊂R|A^cは有限集合}∪{Φ} よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- これはハイネ-ボレルの定理の矛盾?
こんにちは。 『(ハイネ-ボレルの定理)コンパクト位相空間Xの任意の閉集合Aはコンパクトである』 というのを本で見かけました。 『実数空間Rの閉区間[a,b]はコンパクトである(ハイネ-ボレルの定理)』というのも見かけましたので「なるほど、Rはコンパクト位相空間だから[a,b]はコンパクトになるんだなあ。」 と思っていましたら その後に 『[例] 実数空間Rにおいて、R及び、開区間(a,b)はコンパクトでない事を証明せよ』 とも書いてありました。 Rは位相空間ですがコンパクトでなくても閉区間[a,b]はコンパクトになるのですか? 何かおかしくないですか? ハイネ-ボレルの定理に詳しい方ご解説をお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- lim[x→∞]f(x)の位相での定義は?
よろしくお願い致します。 『0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;0<|x-a|<δ⇒|f(a)-f(x)|<ε』 は 『2つの位相空間(X, T)、(Y, S) と map f;X→Y と L:={b∈Y;∀ε∈nbhd(b),∃δ∈nbhd(a) such that f(δ)⊂ε}(a ∈X)に於いて、 L≠φ の時、f(x)はLに収束するといい limf(x):=L x→a と表記する。そして、L=φの時、f(x)は発散すると言う』 という具合に一般で定義できると思います。 『0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;δ<x⇒ε<f(x)』や 『0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;δ<x⇒-ε>f(x)』 に就いては、 『Bは位相空間(X*,T*)の部分集合Aの開被覆である』 の定義は 『T* の部分集合Bに於いて、A⊂∪[b∈B]b』 『位相空間(X*,T*)の部分集合Aはコンパクトである』 の定義は 『X* の部分集合Aの任意の開被覆B(⊂T*)に対し、∃{b1,b2,…,bn} ⊂B (n∈N) such that A⊂∪[i=1 to n]bi』 『位相空間(X*,T*)はコンパクト空間をなす』 の定義は 『位相空間(X*,T*)の部分集合X* はコンパクトである』 『位相空間(X,T)が位相空間(X*,T*)の中で稠密である』 の定義は 『X⊂X* 且つ φ≠∀A∈T* に対して,A∩X≠φ』 『位相空間(X*,T*)は位相空間(X,T)のコンパクト化である』 の定義は 『X* はコンパクト空間 且つ XはX* の中で稠密である』 従って、『x→∞』の定義は『xをa∈X* に近づける』を意味す るので εとδを使うと、 2つの位相空間 (X,T)、(Y,S) と map f: X → Y があり、位 相空間(X*,T*)は(X,T)のコンパクト化である時、 L:={b∈Y;∀ε∈nbhd(b,(Y,S)),∃δ∈nbhd(a,(X,T)) such that f(δ)⊂ε}(a∈X*)に於いて、 L≠φ の時、f(x)はLに収束するといい lim f(x):=L x→a と表記し、 L=φの時、f(x)は発散すると言う。 例:実数体RではX*はR∪{+∞,-∞}に相当し、a∈{+∞,-∞} と定義してみたのですが、 どんな位相空間(X,T)やコンパクト化(X*,T*)では良いという訳ではなく、 夫々に何らかの条件を付け加えねばならないような気がします。 どのような条件を付ければ 『0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;δ<x⇒ε<f(x)』や 『0<∀ε∈R,0<∃δ∈R;δ<x⇒-ε>f(x)』 の一般での定義が完成しますでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 凸集合での命題を証明したいのですが…
実数体Rに於いて,A,B⊂R^n を凸集合とする時、 (1) もし、AとBが閉集合ならA+B:={x+y;x∈A,y∈B}は閉集合とは限らない。 (2) もし、AがコンパクトでBが閉集合ならA+Bは閉集合。 という命題を証明したいのですが滞ってます。 凸集合の定義は 「集合Sについて任意の2つのベクトル x,y∈S と正の実数s (0≦s≦1) について, sx+(1-s)y∈S が成立するとき,Sは凸集合であるという」 閉集合の定義は 「{Π[1..n][ai,bi];ai,bi∈R(i=1,2,…,n)}の元を閉集合という」 コンパクトの定義は 「集合YをX(⊂R^n)の開被覆とする時、Yの有限個の開集合でXを覆える。」 (1)の反例はどのようなものが挙げれるでしょうか? そして、(2)はどのようにして示せますでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 開集合がコンパクトでない理由
コンパクトとは、有限と無限に関するもの(有界閉集合)である ことは何となく分かっているつもりです。 しかし、開集合がコンパクトでない理由がいまいち分かりません。 たとえば、よく教科書に掲載されている例として 開区間(-1,1)を、Xn=(-n/(n+1),n/(n+1)) (n∈N) ※Nは自然数全体 で覆うというものがあり、これは有限部分被覆を持たないというものです。 でも、Xnの最後は(-1,1)なので、この一つをとりだせば それだけで有限被覆となると思います。 この矛盾はどこから来るのか分かりません。 どなたか、ご教授ねがいます。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 開被覆はいつでも存在するのでしょうか?
コンパクト性の証明で「*を開被覆とする」というのがよくでてきます.(開被覆をとって,それが有限部分被覆をもつことを証明する) どうしてそんなものをとれるのかがわかりません. そのときに,(任意の)開被覆をとることができるのは,全空間Xも開集合だから最低1つは存在するから開被覆をとることができると考えていいのですか? よろしくお願いいたします.
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 位相数学について再び質問です
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2686308.htmlで質問したものです。 また自分なりに考えた解答を添削&教えてください。 問1-1)(X、Ox)(Y,Oy)を位相空間とする X × Yの直積位相とは何か? これがさっぱりわかりません。 問1-2)XとYがハウスドルフ空間ならば、X × Yもハウスドルフ空間であることを示せ。 これもさっぱりです。たぶん問1-1を使うと思います。 問2)(X、d)を距離空間とする 距離dの定めるXの位相Odの定義とはなにか? これもわかりません、どういう意味でしょうか?位相Odが距離空間の定義を満たすということでしょうか? 問3)Xがコンパクトで、A⊂Xが閉集合ならAもコンパクトであることをしめせ。 Xがコンパクトだから、Xの任意の開被覆が必ずXの有限被覆を部分集合として含んでいる。ここまではいいと思います。たぶんAがコンパクトでないと仮定して矛盾を示すと思います。これ以上がどうしてもわからないです。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
遅くなりましてすいません。 大変有難うございます。 お陰様で解決できました。