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開集合がコンパクトでない理由
コンパクトとは、有限と無限に関するもの（有界閉集合）である ことは何となく分かっているつもりです。 しかし、開集合がコンパクトでない理由がいまいち分かりません。 たとえば、よく教科書に掲載されている例として 開区間(-1,1)を、Xn=(-n/(n+1),n/(n+1)) (n∈N) ※Nは自然数全体 で覆うというものがあり、これは有限部分被覆を持たないというものです。 でも、Xnの最後は(-1,1)なので、この一つをとりだせば それだけで有限被覆となると思います。 この矛盾はどこから来るのか分かりません。 どなたか、ご教授ねがいます。
- tkajte
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＞(-1,1)にならないといことは、やはり、Xnは(-1,1)の開被覆ではないということになってしまいます。 なりません．質問者はεδや無限に対する理解が かなり怪しいのでしょう． (-1,1)にならなくたって被覆です． たとえば，εを-0.99999 にしましょう． nをものすごーく大きくする，たとえば, n=100000にすると n/(n+1)=0.999990000099... となるので (-n/(n+1),(n/(n+1))にεは含まれるのです． (-1,1)に含まれるどんな数をもってきても このようにその数を含む(-n/(n+1),(n/(n+1))を 必ずとることができます ＃ε=n/(n+1)をnについてといて ＃それ以上の整数をとればよい． したがって，{Xn}は(-1,1)の開被覆です． しかし，どんなにがんばっても有限個で覆うことはできません． 有限個でとめたとしたら， n/(n+1)は1にはなれないので，n/(n+1)と1の間の数が こぼれてしまうのです． こういうのを「稠密性」というのでした． ちなみに ＞コンパクトとは、有限と無限に関するもの（有界閉集合）である ＞ことは何となく分かっているつもりです。 この理解は明らかな誤りですので 正しく理解しましょう． 有限と無限，有界はそれほどは関係しません． ちなみに，コンパクトと有界閉集合は別の概念であり， ある特定の条件において同値であるということも 理解しましょう．
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- rnakamra
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#1のものです。 (-1,1)の中の要素1-ε1 (0<ε<1)を考えます。 1-ε1がXnに含まれるためには 1-ε1<n/(n+1) を満たせばよいことになります。 つまり、n>(1/ε1)-1 なるnをとればよい。 もし、nが全ての自然数を取れるのであれば、この不等式を満たすnはε1がどんなに小さくても必ず存在します。 つまり、"((-1,1)の中で)1"の近傍、どれだけ1に近い数でもXnで被覆することが可能です。 しかし、nの個数が有限であるとするとその中の最大の物をNとすると ε2<1/(N+1)となるε2を持ってくると1-ε2はXnで覆うことができなくなります。つまり、有限のXnの組で被覆することはできません。
- rnakamra
- ベストアンサー率59% (761/1282)
>でも、Xnの最後は(-1,1)なので、この一つをとりだせば >それだけで有限被覆となると思います。 Xn=(-n/(n+1),n/(n+1)) (n∈N) でnを何にしても(-1,1)にすることはできません。 確かにn→∞の極限X∞は(-1,1)ですが、∞なる自然数が存在するわけではありません。Xnに最後なるものは存在せず、(-1,1)に近づきますが絶対に一致することはありません。
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補足
回答ありがとうございます。 ＞Xnに最後なるものは存在せず、(-1,1)に近づきますが絶対に一致することはありません。 (-1,1)にならないということは、そもそもXnは(-1,1)の開被覆ではないということですか？ 開集合とは、その要素に近傍が必ずあるのが定義ですから、 (-1,1)にならないといことは、やはり、Xnは(-1,1)の開被覆ではないということになってしまいます。