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コンパクトの問題
「コンパクト空間の無限集合は必ず集積点を持つ。」を証明する問題で、有限交差性に基づく証明をする際、 「Aをコンパクト空間の無限集合とし、背理法で示す。Aは集積点を持たないとする。｛x_1、x_2・・・｝⊆Ａをとる。各ｎについてＦ_ｎ＝｛ｘ_n、ｘ_n+1・・・｝とおくと、これは閉集合。F_n1∩F_n2∩・・・∩F_nk＝F_n≠φ（n=Max(n_1,n_2・・・，n_k)）なので、｛Ｆ_n｝は有限交差性を持つ。しかし、∩_ｎ=1～∞ Ｆ_ｎ＝φより、これはコンパクトなことに矛盾。」 としてあります。 分からない点は、(1)n=Max(n_1,n_2・・，n_k)で、これはなにを意味するのか？ (2)しかし、∩_n=1~∞ Ｆ_n＝φとあるが、なぜ、当たり前のように書かれてあるのか？当たり前のことなのか？ 以上の二つです。 よろしくお願いします。
- ikecchi
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(1)n=Max(n_1,n_2・・，n_k) これは、n が ｛n_1, n_2 ・・， n_k｝ の中で 最大の数であることを意味します。 （２） ∩_n=1~∞ Ｆ_n＝φ については、 もし、空集合でないならば、ある ｘ_n０ でどの ∩F_nk にも含まれるものがあることになります。 この要素は、最初の集合｛x_1、x_2・・・｝の中にあります。 この書き方は、この集合が可付番集合（加算無限）であることを 意味する書き方です。 従って、この集合に属する ｘ_n０ には自然数での番号が 付いています。 Ｆ_ｎ＝｛ｘ_n、ｘ_n+1・・・｝ ですので 最初の方からだんだん減っていくので、 ｘ_n０ についている自然数よりもおおきな番号を持つ Ｆ_ｎ＝｛ｘ_n、ｘ_n+1・・・｝ には ｘ_n０ は入っていません。 従って、共通部分にずっと入っているような要素は存在しない。 無限大まで共通部分を取れば全てがふるい落とされて 結局、空集合になってしまいます。 当然と言えば当然です。
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- nakaizu
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F_nは点集合の閉包と勘違いしていました。単純な点の集合ですので、(2)はあきらかです。 そうするとF_nが閉集合であることを別に示す必要があります。(自明に近いことかもしれませんが、集積点があるときにはF_nが閉集合にならないこともあるので念のために)
お礼
はい、ありがとうございます。Ｆ_nが閉集合を示すのは、背理法から示すことができました。
- 鳴瀬 美幸（@naruse）
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（２） ∩_n=1~∞ Ｆ_n＝φ に関してはuyama33さんの説明の通り(F_nの定義を用いる）であって、 No4の説明は不備を含みます。但し、 「∩_n=1~∞ Ｆ_n∋x となる xが存在するとxはAの集積点になる」 は前提条件が正しくない（この共通部分は空だからxは存在しない） ので結論は何であっての「」内の主張は（たまたま）正しいのですが、、、 しかし、このことはあくまでもこの証明中のF_ｎに対して成り立つことであって、「」内のみを独立させた命題としたときは一般的には成り立ちません。
- nakaizu
- ベストアンサー率48% (203/415)
(1)の疑問は解決しましたか? (2)については下で回答された方の説明が少しおかしいので、アドバイスします。 ∩_n=1~∞ Ｆ_n∋x となる xが存在するとxはAの集積点になる(集積点の定義をよく見て下さい)のですが、仮定によりAには集積点がないのでこのようなxはありません。 実際にはAには集積点があるので、∩_n=1~∞ Ｆ_n はAの集積点の集合になるはずです。 どこまで理解されているのか分からないので、この説明で理解されるかどうか分かりませんが。
お礼
解答ありがとうございます。(１)の方が少し理解できません。また、なぜ集積点になるのかわかりません。任意のｘの近傍Uに対して、（U＼｛ｘ｝） ∩_ｎ=１~∞F_n ≠ φ ですよね？？果たして存在するのか？？
- uyama33
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岩波書店から 位相空間 と言う本が出ています。 著者を忘れました。 厚くて難しそうな本です。 この本では、コンパクトの定義が この問題の形で書いてあったと思います。 とにかく、コンパクトの定義や 性質をもう一度、本を見て確認して下さい。
- uyama33
- ベストアンサー率30% (137/450)
可算無限 の意味でした。 文字を間違えました。 補足します。 有限交差性を持つ集合の族を作ったのです。 F_n1∩F_n2∩・・・∩F_nk この共通部分は この中の、番号が最大なものに一致すると言っているのです。 それが F_n です。 共通部分が、その中の一つに一致するとは限らないのがふつうですが、 Ｆ_n の作り方から、一致するのです。
補足
ということは、「F_n1∩F_n2∩・・・∩F_nk＝F_n＝φとすると、｛F_n｝は有限交差性を持つが、∩_n=1~∞ F_n＝φとなるので矛盾」ということなんですかね？有限交差性を持つと仮定しても、無限大まで飛ばすと共通分がないということなんですか？
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