- ベストアンサー
ベクトル空間(入門レベル)
線型代数(入門レベル)を勉強し始めたばかりで、証明の問題に悩んでいます。 問.Vをベクトル空間とする。 (1)x1,x2,・・・,xn ∈V がVの生成系ならば、y ∈Vを付け加えた x1,x2,・・・,xn,y もまたVの生成系であることを証明せよ。 (2)x,y,z ∈Vが線型独立であるとき、x+y, y+z, z+x も線型独立で あることを証明せよ。 (1)は、シュタイニッツの交換定理を用いて証明できるのかなと思ったのですが、よく分からなくなりました。 (2)は、x+y, y+z, z+x が線型独立でないとすると、x,y,z ∈Vが線型独立であることに矛盾することを示せばいいのでしょうか。 解決の糸口だけでもいいので教えてもらえたら助かります。 お願いします。
- zoku0855
- お礼率23% (15/64)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数2
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
yはx1,…,xnの線型結合で書けるので、x1,…,xn,yの線型結合全体の 集合はx1,…,xnの線型結合全体の集合に一致する。すなわち、Vに 一致する。これは、x1,…,xn,yがVの一つの生成系であることを意味す る。(シュタイニッツの交換定理って何だろう?初耳) x+y,y+z,z+xに関する線型結合a(x+y)+b(y+z)+c(z+x)=0をx,y,zに関して 整理しなおして、x,y,zのすべての係数=0とすると、a=b=c=0が出る。 これは、x+y,y+z,z+xが線型独立であることを意味する。
その他の回答 (1)
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
考えすぎです。最初は定義に立ち返って証明を試みて下さい。 結果として、何らかの先人の結果を利用することになるにせよ、直接的な証明を試みることによって命題に対する「実感」を得ることができます。
関連するQ&A
- ベクトル空間の生成系と線形独立
ベクトル空間の生成系と線形独立の問題がわかりません。 Vをベクトル空間とし、x1,x2,…,xn∈VはVの生成系であるとする。これらn個のベクトルx1,x2,…,xnから任意の1個を取り除いた残りのn-1個のベクトルはVの生成系をなさないとする。このとき、x1,x2,…,xnは線形独立であることを示せ。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形代数 基底、線形従属について
Vをベクトル空間とする。n個の線形独立なベクトルx1,x2,…,xn(Vの要素)がVの基底をなすための必要十分条件は、これらに任意のベクトルy(Vの要素)を加えたx1,x2,…,xn,yが線形従属となることである。このことを証明せよ。 どのような流れで証明すれば良いのでしょうか? よろしくおねがいします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 次元に関する証明
Vをベクトル空間とする。 (1)Vにはn個の線型独立なベクトル x1,x2,…,xn が存在する。 (2)Vの n+1 個のベクトル y1,y2,…,yn+1 は線型従属である。 このとき、dimV = n であることを証明したい。 (2)から線型関係の式を作り、yは線型従属であることと、n項までのスカラー(a1,a2,…,an)は線型独立であることより an+1≠0 。 次に、上で作った式から yn+1 = (略)にして、 y1,y2,…,yn がVを生成し、線型独立であることを確認して、dimV=n という風(分かりにくい説明ですみません)に証明しようと思うのですが、この考え方でいいのでしょうか。 また、ベクトルx,yをうまく用いた、(きれいな)証明を教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトル空間の次元の問題です。
お世話になります。よろしくお願いします。 今、川久保先生の本で線形代数を勉強しているのですが、 証明が省かれていて分からない問題があります。 方針だけでもよいので、よろしくお願いします。 _________________________________________________________ 【問題】 ベクトル空間Vがベクトルa_1,a_2,・・・・,a_n によって生成される時、 Vの次元は、a_1,a_2,・・・・,a_nの中から選びうる 1次独立なベクトルの最大個数に等しいことを示せ。 ______________________ よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトル空間(大学レベル)
3次元ベクトル空間において、平面 P : x-y+z+1=0 と直線 L : 2(x-1)=-y=-z を考える。 (1)平面を張る2つの線形独立なベクトルa1,a2, 直線を張るベクトルa3を求めよ。 (2)任意の点を直線Lと平行に平面P上へ射影する線形変換を表す行列Aを求めよ。 (3)任意の点を平面Pと平行に直線L上へ射影する線形変換を表す行列Bを求めよ。 (1)はa1=(1,1,0) a2=(1,0,1) a3=(1,-2,-2) と解がでたのですが(2)と(3)が分かりませんでした。 解が分かる方は解法を教えて頂きたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数の問題です。
線形代数の問題です。 問1.ベクトル空間Vにおいて、次の命題を考える。 Vのベクトル「 (1)X1,X2,X3,…,Xkは一次独立 」とする。 さらに、もう1つのVのベクトルyを付け加えたとき 「(2) X1,X2,X3,…,Xk,yは一次従属 」とする。 このときyは「(3) X1,X2,X3,…,Xkの一次結合 」で一意的に書き表される。 (i)「(1)」「(2)」「(3)」の定義を述べよ。 (ii)上の命題を証明せよ。 問2.次の言葉の定義を簡潔にかつ正確に述べよ。 ただし一次独立、一次結合という言葉は使ってもよい。 (i)線形空間の基底 (ii)線形空間の次元 (iii)線形写像の階数 分かる方お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
分かりやすい説明ありがとうございます。