- ベストアンサー
線形代数の問題
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
x1,x2,…,xnがVの基底ならばVの次元はnであり、したがってVからn+1 個のベクトルを取ればそれらは線形従属ですね。 逆に、x1,x2,…,xn,yが線形従属だとすると、 a1x1+…+anxn+by=0 としたとき、少なくとも一つの係数は0ではないですね。 ここでb=0としてしまうと、 a1x1+…+anxn=0 となって、x1,…,xnが線形独立なことからすべてのa1,…,anが0になっ てしまいます。 よって、b≠0 これより、bの逆元を掛ければ、任意のyがx1,…,xnの線型結合で表わさ れて、これらはVの基底になります。
その他の回答 (1)
- ka1234
- ベストアンサー率51% (42/82)
こんにちは。 >方針だけでも教えていただけませんか 教科書で、「線型独立」「線型従属」「基底」「極大線型独立系」 などを調べてみて、定義をノートに書き写します。 そしてそれらをあてはめていけば出来そうです。 [ヒント] 付け加えるベクトルを y とおかないで、x(n+1) とおいてみると、 定義に直結するかもしれません。
関連するQ&A
- 線形代数 基底、線形従属について
Vをベクトル空間とする。n個の線形独立なベクトルx1,x2,…,xn(Vの要素)がVの基底をなすための必要十分条件は、これらに任意のベクトルy(Vの要素)を加えたx1,x2,…,xn,yが線形従属となることである。このことを証明せよ。 どのような流れで証明すれば良いのでしょうか? よろしくおねがいします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 線形代数の問題です。
線形代数の問題です。 問1.ベクトル空間Vにおいて、次の命題を考える。 Vのベクトル「 (1)X1,X2,X3,…,Xkは一次独立 」とする。 さらに、もう1つのVのベクトルyを付け加えたとき 「(2) X1,X2,X3,…,Xk,yは一次従属 」とする。 このときyは「(3) X1,X2,X3,…,Xkの一次結合 」で一意的に書き表される。 (i)「(1)」「(2)」「(3)」の定義を述べよ。 (ii)上の命題を証明せよ。 問2.次の言葉の定義を簡潔にかつ正確に述べよ。 ただし一次独立、一次結合という言葉は使ってもよい。 (i)線形空間の基底 (ii)線形空間の次元 (iii)線形写像の階数 分かる方お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- ベクトル空間の生成系と線形独立
ベクトル空間の生成系と線形独立の問題がわかりません。 Vをベクトル空間とし、x1,x2,…,xn∈VはVの生成系であるとする。これらn個のベクトルx1,x2,…,xnから任意の1個を取り除いた残りのn-1個のベクトルはVの生成系をなさないとする。このとき、x1,x2,…,xnは線形独立であることを示せ。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 明日テストの線形代数の線形空間、部分空間の問題で質問です。
明日テストの線形代数の線形空間、部分空間の問題で質問です。 ________1__-1___2___-3 A=-2___1___1___-4 =(a1,a2,a3,a4)について、次の問いに答えよ。 ________3__-5__16_-29 (1) __________x1 R^4の部分空間 V=(x={x2}∈R^4:Ax=0)の基底と次元を求めよ。 __________x3 __________x4 (2) __1 b=( k)∈R^3とする。連立方程式Ax=bを持つように定数kの値を定めよ。 __-5 また、そのときの解を求めよ。 (3) ベクトルv=(1)∈R^3はR^3の部分空間<a1,a2,a3,a4>の要素か? 線形空間の理解が足らず解く方針が全く定まらないので多少の解説を付けて回答していただけるとありがたいです。 あと行列の書き方がわからず見にくくなってしまいました、すみません。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 次元に関する証明
Vをベクトル空間とする。 (1)Vにはn個の線型独立なベクトル x1,x2,…,xn が存在する。 (2)Vの n+1 個のベクトル y1,y2,…,yn+1 は線型従属である。 このとき、dimV = n であることを証明したい。 (2)から線型関係の式を作り、yは線型従属であることと、n項までのスカラー(a1,a2,…,an)は線型独立であることより an+1≠0 。 次に、上で作った式から yn+1 = (略)にして、 y1,y2,…,yn がVを生成し、線型独立であることを確認して、dimV=n という風(分かりにくい説明ですみません)に証明しようと思うのですが、この考え方でいいのでしょうか。 また、ベクトルx,yをうまく用いた、(きれいな)証明を教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 大学の線形代数についていけなくなりました
現在文系の大学1年の者です。 線形代数を履修しているのですが、線形空間、線形写像、線形独立・従属、基底あたりが少し前から授業で扱われ始め、それまでわかっていた線形代数が突如わからなくなってしまいました。 あくまでも文系で、商学部にいるとはいえども今後線形代数を活用するような授業はとらない方向でいるので、とにかく理論的に間違っていても、概念的にぱっと聞いてわかるような説明が知りたいです。 同じような質問をこのサイトで検索して見つけた『すぐわかる線形代数』(石村園子著、東京図書)を買おうと思っているのですが、このサイトでもわかりやすい解説をしていただければなと思い質問しました。 まとめると、 線形空間、線形写像、線形独立・従属、基底とはイメージ的なものでかまわないので、理解するためにはどういったイメージを持てばいいか を教えてください。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数の問題の解き方を教えてください。
線形代数の問題の解き方を教えてください。 2次形式f(x1,x2)=x1^2 + 2x2^2 をベクトルX=(x1,x2)T および行列Aを用いてXTAXと表すものとする。 (1)Aを求めよ (2)行列Aの固有値λ1,λ2 および固有ベクトルX1,X2を求めよ。ただしλ1>λ2とし、固有ベクトルは長さを1に正規化するものとする。 (3)f(X1,X2)を求めよ。 (4)f(X3)を求めよ。ただしX3=(1-α)X1+αX2,0≦α≦1とする。またf(X3)を最小とするαを求めよ。 という問題なのですが、簡単な線形代数しか学んでいないためわかりません。 どなたか教えていただけないでしょうか? よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数