ベクトル空間（大学レベル）

質問

3次元ベクトル空間において、平面 P : x-y+z+1=0 と直線 L : 2(x-1)=-y=-z を考える。
（１）平面を張る2つの線形独立なベクトルa1,a2, 直線を張るベクトルa3を求めよ。
（２）任意の点を直線Lと平行に平面P上へ射影する線形変換を表す行列Aを求めよ。
（３）任意の点を平面Pと平行に直線L上へ射影する線形変換を表す行列Bを求めよ。

（１）はa1=(1,1,0) a2=(1,0,1) a3=(1,-2,-2)　と解がでたのですが(2)と(3)が分かりませんでした。

解が分かる方は解法を教えて頂きたいです。

回答No.3

noname#154783 · ベストアンサー

問題文の「任意の点」というのは原点Oなど平面上Pにない点も含めてR^3のすべての点を含むと思います．

で，例えば原点Oを(2)の問題文の文字通りに「直線Lと平行に平面P上に射影する」と，平面P上にない原点Oはこの射影により平面P上に移されます．要するに原点Oはこの射影により原点じゃない点に移されるのです．

ところが，問題文には「線形変換」と明記されており，線形変換だと原点O (というか0ベクトル)は必ず原点(すなわち0ベクトル)に移されるはずです．上述のように文字通りに解釈すると原点が別の点に移されるので，文字通りに解釈した射影は線形変換じゃありません．

# (3)の射影も同様に，文字通りに解釈すると線形変換じゃないと思います．

# ANo.1の方の
> う～ん, こういう表現するのかなぁ....
# というのはこの辺りのことを見抜いてのコメントなんだと思います．

それで結局，問題文の射影を次のように解釈しました：

任意の点Xの位置ベクトルOXを考え，このベクトルを直線Lと平面Pとの交点Qが始点となるように平行移動し(ベクトルは平行移動しても同じ)，このQ始点のベクトルの終点を問題文の通りに射影して得られたベクトルyを原点が始点となるように平行移動し(ベクトルは平行移動しても同じ)，このときのベクトルyの終点をYとすると，ベクトルy = OYが求める線形変換によるベクトルx = OXの像である．

お礼

難しいですね・・・
なんとなくは理解出来ました。
丁寧に教えてくださりありがとうございました。

回答No.2

noname#154783

(1)
平面P: x - y + z + 1 = 0
の法線ベクトルは
n = t(1, -1, 1).

# tは転置を表す．

このnに垂直な2つの線形独立なベクトルとして，例えば
a1 = t(1, 1, 0),
a2 = t(1, 0, -1)
は平面Pを張るベクトルである．

また，
直線L: (x - 1)/(1/2) = y/(-1) = z/(-1)
を張るベクトル(すなわちLの方向ベクトル)は
a3 = t(1, -2, -2).

# janneofworldさんの
> a1=(1,1,0) a2=(1,0,1)
# はa2の第3成分が違ってるような気がします．

(2)
M = (a1, a2, a3) = (1, 1, 1; 1, 0, -2; 0, -1, -2)
とすると，
det M = -1 ≠ 0なので，a1, a2, a3は線形独立．

# ;は行の区切りを表す．

以下，ベクトル空間R^3の基底として{a1, a2, a3}を選ぶ．
新しい基底では，Pは(新しい基底による表現ベクトルでの) t(1, 0, 0)とt(0, 1，0)が張る平面となるから，直線Lに沿って任意のベクトルをPに射影するということは，第3成分を0にすることに他ならない．これは行列
A' = (1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 0)
によって表現できる(すなわちA'は求める線形写像の新基底による表現行列)．
これを元の基底による表現行列にすると，
A = M A' M^(-1) = (0, 1, -1; 2, -1, 2; 2, -2, 3).

(3)
(2)と同様に，新基底で平面Pに平行に直線Lに射影する写像の表現行列は
B' = (0, 0, 0; 0, 0, 0; 0, 0, 1).
これを元の基底による表現行列にすると，
B = M B' M^(-1) = (1, -1, 1; -2, 2, -2; -2, 2, -2).

補足

丁寧に回答いただきありがとうございます。
質問なのですが、Aによって任意の点（0,0,0）を射像しても当然(0,0,0)ですよね。
(0,0,0)は平面上の点ではないですが、このような問題では任意に（0,0,0）は含まないのでしょうか。

回答No.1

Tacosan

う～ん, こういう表現するのかなぁ....

さておき, 「P(x, y, z) をそれぞれで射影するとどの点に移るのか」を調べる.