3次の因数分解

質問

χ3＋ａ3＋ｂ3－3χａｂｃ
＝（χ＋ａ＋ｂ）（χ＋ａω＋ｂω2）（χ＋ａω2＋ｂω）ω：1の3乗根の1つ
となるようなのですが、
変形していく途中をもっと詳しく知りたいのですが。
確かに、右辺を計算すれば、左辺になります。
左辺をどのようにしていけば、右辺の式が姿を現すのでしょう。

回答No.2

age_momo · ベストアンサー

そうですね。もし私が

x^3+a^3+b^3-3xab=(x+a+b)(x^2+a^2+b^2-xa-ab-bx)

としても更に因数分解するよう言われたら、とりあえず解の公式を使って

x^2+a^2+b^2-xa-ab-bx=x^2-(a+b)x+(a^2+b^2-ab)

[(a+b)±√{(a+b)^2-4(a^2+b^2-ab)}]/2=[(a+b)±√{-3(a^2-2ab+b^2)}]/2
={(a+b)±(a-b)√-3}/2　　(b>aとする)
=(1-√-3)/2*a+(1+√-3)/2*b,(1+√-3)/2*a+(1-√-3)/2*b

ここで(1±√-3)/2=-ω,-ω^2ということに気づけば

(x+ωa+ω^2b)(x+ω^2a+ωb)

と因数分解できると思います。気づかずに

{x-(1-√-3)/2*a-(1+√-3)/2*b}{x-(1+√-3)/2*a-(1-√-3)/2*b}

としている可能性が高いですが・・・
というかよくある因数分解の公式

a^3+b^3+c^3-3abc=(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

はこれを使って因数分解して

(a+b+c)(a+ωb+ω^2c)(a+ω^2b+ωc)

とできるということですね。対称式が台無しですが。

お礼

ありがとうございます。私の考えも回答者さんのものと同じでした。
もっとも、x^3+a^3+b^3-3xab=(x+a+b)(x^2+a^2+b^2-xa-ab-bx)にいくまでは、大変苦労しました。後半部分のやり方が他にないものかと思案して、尋ねました。
　というのも、この式を利用して、３次方程式を解いたのですが、(飯高茂氏が高校生のときに解いた方法らしい)、因数分解の方法がちょっと気になったものですから。

回答No.1

tatsumi01

問題式が違いません？

公式
x^3 + a^3 + b^3 - 3xab = (x + a + b) (x^2 + a^2 + b^2 - xa - xb -ab)
から、第２項を因数分解すればいいような。

お礼

ありがとうございます。
式は正しいです。計算しましたから。