中学の問題 三角格子から正三角形をつくる。

質問

中学生の問題　三角格子から３点選んで正三角形をつくる。

辺の長さがｎ（ｎは自然数）の正三角形がある。この正三角形の内部に長さ
１の三角形格子を作る。（辺の長さ１の正三角形で埋め尽くされた状態です）
外形も含んだこの三角格子から３点選んで正三角形をつくる。全部で何通り
あるか。
答えは，ｎCｒ　で　ｒ＝ｎ+3，ｒ＝4　です。
すっきりした解法が知りたいのです。

回答No.1

rtz · ベストアンサー

これは中学生の問題にしては高等すぎます。
十分難関国公立大入試クラスでも通用すると思います。

頂点も三角格子上にあり、1辺の長さがk（kはn以下の自然数）であるような正三角形の枠を考えます。
ただし、この正三角形の枠の向きは元の正三角形と同じです。
（元の三角形の向きが△ならこれも△。▽ではない）
この枠の頂点をA(1)、B(1)、C(1)とし、各辺上の格子点を
A(1)、A(2)、A(3)、…、A(k)、B(1)
B(1)、B(2)、B(3)、…、B(k)、C(1)
C(1)、C(2)、C(3)、…、C(k)、A(1)とします。

三角形A(t)B(t)C(t)（tは1～kの自然数）は正三角形となり、
この枠上の点を利用した正三角形はこのk個で全てです。…●

三角格子から3点を選んで作られた正三角形は全てこのような枠に収まり、
枠の取り方はどの正三角形1つに付いても1つだけです。
（一部は▽である逆向きにも収まりますが、これは枠としていないので）

よってあとはこの1辺の長さkの枠が、元の正三角形からいくつ作れるかを考えて、
●よりk倍すれば、1辺の長さkの枠に収まる正三角形の数が分かります。
1辺の長さkの枠の数は、1辺の長さ(n-k)の正三角形の頂点の数と同じなので、
（△の上の頂点の数で考えると分かりやすいです）
{1+(n-k+1)}*(n-k+1)/2=(n-k+1)(n-k+2)/2
即ち1辺の長さkの枠に収まる正三角形の数は、
k(n-k+1)(n-k+2)/2＝k^3/2-(2n+3)k^2/2+(n+1)(n+2)k/2

あとはこれをkについて1～nまで足し合わせれば終わり。
Σk^3/2-(2n+3)k^2/2+(n+1)(n+2)k/2
＝n^2(n+1)^2/8-(2n+3)n(n+1)(2n+1)/12+n(n+1)^2(n+2)/4 （公式利用）
＝n(n+1)/24 * {3n(n+1)-2(2n+3)(2n+1)+6(n+1)(n+2)} （分母を24とし、n(n+1)で括り出す）
＝n(n+1)/24 * (n^2+5n+6)
＝n(n+1)(n+2)(n+3)/24
＝n+3 Ｃ 4

まぁこれがすっきりかどうか分かりませんが、
斜めの正三角形を処理する方法がこれしか思いつきませんでした。

補足

解き方は分かります。

回答No.2

mis_take

ｎ個からｋ個選ぶ組合せの数をＣ(ｎ,ｋ)，重複組合せの数をＨ(ｎ,ｋ)と書くことにします。
次の公式が成り立ちます。
(1)Ｈ(ｎ,ｋ)＝Ｃ(ｎ＋ｋ－１,ｋ)
(2)Ｈ(ｎ,ｋ＋１)＝Ｈ(ｎ,ｋ)×(ｎ＋ｋ)/(ｋ＋１)
(3)Σ[m=1～n]Ｈ(ｍ,ｋ)＝Ｈ(ｎ,ｋ＋１)

ご質問の答がＨ(ｎ,４)なので，重複組合せの考え方でポンと説明できるとすばらしいのですが，わかりませんでした。
が，ANo.1さんの計算が，上の公式を使うとわかりやすくなります。
ANo.1さんの(ｎ＋１－ｋ)をｍとおくと，
サイズｋの△の個数がΣ[i=1～m]ｉ，その枠上に頂点をもつ正三角形の個数がｋ＝ｎ＋１－ｍとなるので
Σ[m=1～ｎ](Σ[i=1～m]Ｈ(ｉ,１))(ｎ＋１－ｍ)
＝Σ[m=1～ｎ]Ｈ(ｍ,２){(ｎ＋３－(ｍ＋２)}
＝(ｎ＋３)Σ[m=1～ｎ]Ｈ(ｍ,２)－Σ[m=1～ｎ](ｍ＋２)Ｈ(ｍ,２)
＝(ｎ＋３)Ｈ(ｎ,３)－Σ[m=1～ｎ](３Ｈ(ｍ,３))
＝４Ｈ(ｎ,４)－３Ｈ(ｎ,４)
＝Ｈ(ｎ,４)

お礼

なるほどだんだん分かってきました。
ありがとうございます。