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正n角形の面積
半径rの円に内接する正n角形が存在します。 その正n角形の内、弦にあたる辺を底辺とし、弦の両端から中心に向かって線（長さr）を引き三角形を作ります。 この時の中心の角θは 2π/n とします。 ここで、この三角形の面積を出します。 三角形の二辺の長さとその間の角が判明しているので、公式より、1/2*r*r*sin2π/n=1/2*r^2*sin2π/n と求まります。 この三角形を利用して、正n角形の面積を求めたいのですが、その答えに辿りつくまでの説明がイマイチ理解できません。 答えは、1/2*r^2*n*sin2π/n なのですが、上の式よりnを掛けた説明ができません。 頭では理解しているつもりが、言葉に表すとハッキリと表せません。 何方かご教示願います。
- koroyan
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>この時の中心の角θは 2π/n とします。 ↑ここがすごく気になりました。 「この時の中心の角をθとおくと、θ＝2π/n となる。」 あげ足をとるわけではなく、なんとなく気になったので、もしかして、 すっきりしないのは、 ここかな？と、昔の記憶をよせあつめて^^; 言葉にしてみました。 どこか矛盾しているかもしれませんが… 正n角形（n>=3）の頂点をP1，…Pn、内接している円の中心点をAとすると、 n個の三角形 P1P2A，…，PnP1A ができ、 それらは、それぞれ、P1P2，…，PnP1 を底辺とし、 P1A＝P2A，P2A＝P3A，…，PnA＝P1A なる二等辺三角形である。 また、 P1P2＝…＝PnP1 P1A＝P2A＝…＝PnA P2A＝P3A＝…＝PnA＝P1A であるので、三辺が等しいことにより、これらn個の三角形は合同である。 ここで、三角形が合同であることより、 角P1AP2＝…＝角PnAP1 を得るが、一方、 角P1AP2＋…＋角PnAP1＝2π であるので、 角P1AP2＝…＝角PnAP1＝θ とおくと、 ｎθ＝2π 従って、 θ＝2π/n また、正ｎ角形の面積はこれらn個の合同な三角形の面積の和と等しいので、 内接している円の半径をrとおけば、正n角形の面積は n*1/2*r^2*sin2π/n となる。//
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