円と球の内部の格子点について

質問

円と球の内部の格子点についてですが。

格子点とは座標系において、その値が整数であるような点のことです。たとえば、二次元平面（xy平面）では、（1、1）や（2、1）といった点を指し、（1.2、2.5）といった少数や分数となるような点は格子点ではありません。
問題はここからです。

xy平面において、原点中心、半径ｒの円を考えたとき、その内部に含まれる格子点の数をSｒとする。ここで、rは正の整数とする。（例えば、単位円（ｒ＝1）の場合、条件を満たす格子点は（０，０）、（０，１）、（1，０）、（-1，0）、（0　，-1）であるからS１＝5である。）
Sｒを求めよ。これはもちろんｒの関数になります。

次に、ｘｙｚ座標空間になったとき、原点中心、半径ｒの球を考えたとき、その内部に含まれる格子点の数をVrとする。Vrを求めよ。

Vr/Sr　をｎ→∞としたときの値を求めよ。

おそらく、これは発散するかと思います。SrやVrの求め方はおそらく区分求積法、法則性を見つけ出す（数列の漸化式を解く）方法かとも思うんですが、よくできないので、教えてください。
また、この極限値の問題はｎC2　と　ｎC3　に関係があるかと思います。
できれば、ヒントだけでなく、「答え」を教えてもらえるとありがたいです。

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

Sr や Vr を r の式で表示するのは、難しそう。
lim[r→∞] Sr/(πr^2) = 1 と
lim[r→∞] Vr/{(4/3)πr^3} = 1 を示すのは、
それぞれ、円と球との求積そのもの。
円を正方形で、球を立方体で、覆うことを考えよう。
そこから、lim[r→∞] Vr/Sr の発散は言える。

補足

＞lim[r→∞] Sr/(πr^2) = 1 と
lim[r→∞] Vr/{(4/3)πr^3} = 1 を示すのは、
それぞれ、円と球との求積そのもの。＞
がよく言ってる意味がわかりません。
自分なりに考えてみた結果、
まず、円の場合、これは円の面積に帰着します。ｒ＝1の場合はただ単に軸に乗っている格子点だけなので、Sr＝5
ｒ≧２の場合は、面積に対応した格子点を考える。軸にのっているものと、乗っていないものを分けて考えると、軸によっているものは、原点を除くと、ｒ×4個あります。これは簡単。それで原点を入れれば、（4ｒ＋1）個になります。次に軸に乗ってないものだが、面積に対する個数の対応で、例えば、半径2の場合、ｘ＞０、ｙ＞０では（1、1）のみであり、半径3の場合、（1、1）（1、2）（2、1）（2、2）の４点である。つまり、ｒにおける単位面積に相当する（正方形の面積といってもいいし、円の面積といってもよい）。だから、この個数Mは
M＝（ｒ－１）＾２　　　　　　＾２は二乗を意味します。
であり、第一象限に限らず、４象限で考えると４倍すればよい。以上を考慮して、
Sｒ＝4（ｒ－１）＾２＋４ｒ＋１　（ｒ≧２）

これで正しいと思うんですが。。。
つづいて、三次元の場合、円の場合。同様に単位立法体を考える。もちろん、軸にのっているもの、のってないものを別々に数える。ｒ＝１の場合は簡単で、7個です。
ｒ＝2の場合は一辺が２の立法体を考え、その頂点と、各辺に乗っている点を数えれば、軸にのっている点は除かれます。だから、頂点は8だから８×1個、その間は1個あり、辺は全部で12つだから、12×1個。
軸に載っているものは、7個だから、全部で
８＋１２＋７＝２７個である。　V2＝27
ｒ＝３の場合は、立方体の表面を考える。１つの表面がSrにあたる考えればよく、面が６つあるので、6Srとすればいいのですが、頂点を3回重複して数えているので、-4×2
よってV３＝6×S3　－8　＋S2
以上から、
Vr＝6×Sr+S（r－1）　－8　　　（ｒ≧3）
であるとわかる。これをとけば、Vrが求まるが、私はこれを解けない。。。

Vr/Sr　をｎ→∞としたとき（あっ、ｎじゃなくｒですね）r→∞のとき、もちろん∞に発散する。

こんな感じであってますかね？

回答No.2

arrysthmia

＞ Sｒ＝4（ｒ－１）＾２＋４ｒ＋１　（ｒ≧２）
＞ これで正しいと思うんですが。。。

半径が 4 の場合、第一象限の格子点は
(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2)
の 8 個で、M = (4-1)^2 が早くも成り立たない。

No.1 に書いた「円を正方形で、球を立方体で、覆う」は、
π (r - 1/√2)^2 < Sr < π (r + 1/√2)^2
という意味だけど。
この式の r ± 1/√2 に出てくる 1/√2 は、
一辺 1 の正方形の中心から頂点までの長さ。