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微分の微分
mickel131の回答
- mickel131
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まさにポイントは、あなたのおっしゃている不明点、 「dy/dx(←実はこれもなん式なのかよく分かっていませんが」 ここにあります。 文字がｘとｙの２文字だけなら、ｙ’とかｙ’’の記号で十分ですが、 ３つ目の変数が出てきたら、dy/dxのような表記をしないと混同が起きることがあります。 dy/dx は yをxの関数と見て微分する、dy/dt は yをtの関数と見て微分する、 という意味です。 例えば、y=x^3+2x, y=t^4-3t の場合、 dy/dx=3x^2+2 , dy/dt= 4t^3-3 となるわけです。y'といった場合、このどちらを指して言っているのか、はっきり しないといけません。 ここからは、あなたの挙げられた例に沿って説明します。 x= sin t , y=t^2+7t+3 の場合、 「y'/x'= (2t+7)/cos t ですよね。」 そのとおりです。ただし、ここのy'は dy/dt (yをｔの関数と見て微分したもの) 、x' は dx/dt (xをtの関数と見て微分したもの）です。 このyをxの関数として微分したものは、 ｄｙ/ｄｘ＝（dy/dt)÷（dx/dt)＝（y')÷（x') ということで、 (2t+7)/cos t となるわけです。 「それで、さらに、それを微分したいのですが、」 これをxで微分したものを求めるということですね。 「その時に、私は {(2t+7)'*cost－(2t+7)*(cost)'}／(cost)^2 だけで良いと思うのに、」 これは、上の式をtで微分したものです。xで微分したものではありません。 xで微分したものを求めるには、 ｄ/ｄx(ｄｙ/ｄｘ)＝ｄ/ｄx( (2t+7)/cos t ） ＝ｄ/ｄｔ ・ ｄｔ/ｄｘ ( (2t+7)/cos t ） ＝ ｄ/ｄｔ( (2t+7)/cos t ）・ ｄｔ/ｄｘ ＝[{(2t+7)'*cost－(2t+7)*(cost)'}／(cost)^2 ]・ｄｔ/ｄｘ ＝[{(2t+7)'*cost－(2t+7)*(cost)'}／(cost)^2 ]÷ｄｘ/ｄｔ このようにして、「x'で割る」必要があるわけです。 これからは、ｙ’という記号は dy/dxに対して使い、 dy/dt には使わないようにされることをお勧めします。
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