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微分の微分

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お礼率 28% (228/793)

微分の微分は、
d^2y/dx^2=(dy'/dt)/(dx'/dt)=y''/x'
と習ったのですが、
どうして
y'' を x'で割らなければいけないのですか?
y''を求めるのだから、y'をもう一度微分すればいいのに、
と思うのですが。。。

例えば、x= sin t
y=t^2+7t+3 があります。
dy/dx(←実はこれもなん式なのかよく分かっていませんが、、、)は、
y'/x'= (2t+7)/cos t ですよね。
それで、さらに、それを微分したいのですが、
その時に、私は
{(2t+7)'*cost-(2t+7)*(cost)'}/(cost)^2
だけで良いと思うのに、本当はそれを x'で割るのですよね。
それで、答えは
{2cost+(2t+7)(sint)}/(cost)^3 としなければいけないのが
不思議でたまりません。

解説を宜しくお願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.8
レベル13

ベストアンサー率 61% (647/1050)

 
  すでに多くの方の回答がありますが、基本的なことの指摘がないように思いますので、あえて回答させていただきます。
 
  >微分の微分は、
  >d^2y/dx^2=(dy'/dt)/(dx'/dt)=y''/x'
  >と習ったのですが
 
  それは、記憶違いで、そんな公式はありません。「ない公式」を使って計算すると変な結果が出てくるのは当然ですし、納得行かないことが起こるのも当然です。幸い、微分についてはご存じのようですから、記号の定義を、もう一度確認すれば、疑問は氷解します。
 
  xの関数yを、xで微分するのを、記号で、dy/dx と書きます。
  xの関数yの微分(=dy/dx)を、更にxで微分する場合は、d(dy/dx)/dx となるのですが、これを、簡単な記号で、d^2y/dx^2 と書きます。「^2」が付いている位置に注意してください。こういう感じで、記号としては:
 
  xの関数yを、xで微分する → dy/dx
  xの関数yを、xで二回微分する → d^2y/dx^2
  xの関数yを、xで三回微分する → d^3y/dx^3
  ……
 
  こういう風に記号で表します。こういう記号を使うのは、合理的理由があるのですが、それはとまれです。
 
  ところで、「何で微分するか」が、筆者にも読者にも、明らかである場合は、上の記号で示した微分を、左上のダッシュの数で示します。つまり、y' y'', y''' などです。しかし、これは、微分するのが、xとか決まっている場合にのみ使います。物理では、普通、時間tで微分する時、この省略記号を使います。それ以外の変数の場合は、混乱が起こるので、dy/dt を y' などで表す以外、普通、使用しません。まさに、混乱が起こるからです。
 
-------------------------
 
  どうもおかしい気分なので、最初の誤りだという公式について考えてみます。
 
  d^2y/dx^2 = d[(dy/dt)/(dx/dt)]/dx
  この式を変形して
  = {d[(dy/dt)/(dx/dt)]/dt}{dt/dx}
  = {d[(dy/dt)/(dx/dt)]/dt}/{dx/dt}
 
  これは、yとxが何かのパラメータ変数(例えばt)で規定されている時の、tによる二階微分の解法の式です。その意味では「誤り」ではないのですが、最初に提示されている公式は:
 
  d^2y/dx^2=(dy'/dt)/(dx'/dt)=y''/x' です。
 
  しかし、これは、dy'/dt=y'' のはずで、そうなら、dx'/dt=x'' で、だから誤りだと述べたのです。
  y'=dy/dt=2t+7 → y''=dy'/dt=2
  x'=dx/dt=cos t → x''=dx'/dt= -sin t
  これは、どう考えても正解はでません。
 
  従って、記憶違いで、そんな公式は「ない」と述べたのです。計算間違いの問題ではありません。
 
  > d^2y/dx^2=(dy'/dt)/(dx'/dt)=y''/x'
 
  こんな公式がおかしいのです。
 
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  • 回答No.2
レベル10

ベストアンサー率 18% (28/153)

x’=dx/dt,x”=dx’/dt,y’=dy/dt,y”=dy’/dtとする d/dx=(d/dt)/(dx/dt)であるから dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=y’/x’である d/dx=(d/dt)/(dx/dt)とdy/dx=y’/x’とから (d/dx)^2・y= (d/dx)・(d/dx)・y= (d/dx)・(dy/dx)= (d/dx)・(y’/x’ ...続きを読む
x’=dx/dt,x”=dx’/dt,y’=dy/dt,y”=dy’/dtとする
d/dx=(d/dt)/(dx/dt)であるから
dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=y’/x’である
d/dx=(d/dt)/(dx/dt)とdy/dx=y’/x’とから
(d/dx)^2・y=
(d/dx)・(d/dx)・y=
(d/dx)・(dy/dx)=
(d/dx)・(y’/x’)=
(d/dt)/(dx/dt)・(y’/x’)=
(d(y’/x’)/dt)/(dx/dt)=
(d(y’/x’)/dt)/x’=
((y”・x’-y’・x”)/x’^2)/x’=
(y”・x’-y’・x”)/x’^3
従って(d/dx)^2・y=y”/x’ではないのです
補足コメント
nah

お礼率 28% (228/793)

記号ばっかりでいまいちつかめないので、良かったら例題をお願いしたいのですが・・・。
投稿日時 - 2002-03-01 01:54:18

  • 回答No.1
レベル10

ベストアンサー率 23% (21/88)

まず、あなたの知識レベル(高校生かな?)が分からないから、説明は難しいと思います。 とりあえず、積分はご存知ですか?微分と積分の定義が分かればそのような 疑問もなくなると思いますので、下のURLでも一読をお勧めします。 ...続きを読む
まず、あなたの知識レベル(高校生かな?)が分からないから、説明は難しいと思います。
とりあえず、積分はご存知ですか?微分と積分の定義が分かればそのような
疑問もなくなると思いますので、下のURLでも一読をお勧めします。
補足コメント
nah

お礼率 28% (228/793)

高校生ではないです。高校では数学(1)Aと(2)Bを取りました。積分、聞いたことあるけど、記憶にあまり残っていません。
投稿日時 - 2002-02-28 07:58:20
  • 回答No.3
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

●y'という表記が混乱の元と思われます。 y' = dy/dt という意味でお使いですね。右辺は何を意味しておるかと言えば「tをちょびっと変えたとき、yがどれ程変わるか。」に他なりません。ただし、この「tをちょびっと」の加減によってyの変化が違うので、yの変化はtの変化の何倍であるか、という比で表そう。これがdy/dtということです。  yがtと無縁のものなら、tが変わろうとyが ...続きを読む
●y'という表記が混乱の元と思われます。
y' = dy/dt
という意味でお使いですね。右辺は何を意味しておるかと言えば「tをちょびっと変えたとき、yがどれ程変わるか。」に他なりません。ただし、この「tをちょびっと」の加減によってyの変化が違うので、yの変化はtの変化の何倍であるか、という比で表そう。これがdy/dtということです。
 yがtと無縁のものなら、tが変わろうとyが付き合って変わることはありません。この場合は変わる。ですから正確には、yは「変数」というよりも、「tによって値が決まる関数である。」と考えるべきです。つまり
y(t) = t^2+7t+3
という風に書く方がはっきりします。
 さて、tの値が幾らであるかによって(dy/dt)の値も違う(tを「幾ら」からチョビッと動かすかによって、yの変化は違う)ので、(dy/dt)はそれ自身、tに依存して値がきまる関数である。
(dy/dt)(t)
と書くとはっきりします。このことを強調したい場合、「微分」と言わず「導関数」と呼ぶのでした。
 でもこんな書き方はめんどくさいので yt(t) (このyの直後にあるtは小さい文字を下の方に添えて書く)という書き方も使います。何で微分するか(この場合t)がもう決まり切ってる場合には、さらに手抜きして、
y'(t) = (dy/dt)(t)
と書いてしまうわけです。だから ' ってのは「tによる微分」という意味であって、「単なる微分」ではない。必ず「何か」による微分であって、「単なる微分」なんてものはそもそもないのです。(ここがポイント!)

 これとは別に、もう一つ関数があって、
x(t) = sin t
である。
dx/dt = cos t
というのは、既に述べたように「tをちょびっと変えたとき、xがどれ程変わるか、を比で表したもの」です。

●さて、ご質問の問題に入る前に、次の微分を考えてみましょう。
dy/dx
こりゃどういうことでしょうか。y(t)の右辺にxなど出てこないから、両者は無縁?そうではないです。共通のtというものを介して相互に関係しているわけですね。
 dy/dxとは、「xがちょびっと変わるようにtをちょびっと変えたとき、その同じtの変化に対応してyがどれだけ変わるか、をxの変化に対するyの変化の比で表したもの」です。これはつまり「tをちょびっと動かしたとき、yがどれだけ変わるか」と「tをちょびっと動かしたとき、xがどれだけ変わるか」との比、と考えることもできる。だからこそ
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)
が成り立ちます。
 さて
dy/dx= (2t+7)/cos t
という風に右辺をtで表すと、
(dy/dx) (t) = (2t+7)/cos t
という意味ですね。これをtで微分したものはtをちょびっと動かしたとき、(dy/dx) がどれだけ変わるか、ということを表しています。
 もし(dy/dx) の右辺をtを使わずに書いておけば、
(dy/dx) (x) =(2arcsin(x)+7)/cos(arcsin x)
ということになり、これはxの関数であり、これをxで微分したものはxをちょびっと動かしたとき、(dy/dx) がどれだけ変わるか、ということを表しています。

●んではご質問の話に入りましょう。
d^2y/dx^2
こりゃあ何でしょうか。(dy/dx)(t)という関数をさらにxで微分したいわけです。だから
g(t) =(2t+7)/cos t
と書くことにして、yのことは忘れて良し。そうすれば「g(t)をxで微分したい」、とこう言ってるのと同じですから、
dg/dx = (dg/dt)/(dx/dt)
かくて
d^2y/dx^2
= dg/dx
= (dg/dt)/(dx/dt)
=(d(dy/dx)/dt) /(dx/dt)
=(d((dy/dt) / (dx/dt))/dt) /(dx/dt)
ということに相成ります。

●最後に、nahさんがどこでチョンボしたかチェックしてみましょう。ご質問の中の
> dy/dx(←実はこれもなん式なのかよく分かっていませんが、、、)は、
> y'/x'= (2t+7)/cos t ですよね。

はい。こいつがg(t)ですね。

> それで、さらに、それを微分したいのですが、
> その時に、私は
> {(2t+7)'*cost-(2t+7)*(cost)'}/(cost)^2
> だけで良いと思う

この「それ(g)を微分したい」が失敗です。「それ(g)をtで微分したい」のなら、
dg/dt = d(dy/dx)/dt = {(2t+7)'*cost-(2t+7)*(cost)'}/(cost)^2
で大正解。でも
d^2y/dx^2
をやれ、というのですから求めるのは「それ(g)をxで微分したい」なんですね。ゆえに
(dg/dt)/(dx/dt)
をやらなくちゃいけない。
補足コメント
nah

お礼率 28% (228/793)

私の場合は「g(t)をxではなく、tで微分」しただけだったってことですよね?

あと、それから、
d^2y/dx^2
= dg/dx
= (dg/dt)/(dx/dt)
=(d(dy/dx)/dt) /(dx/dt)、ここからの分母が何を現しているのかが
良く分かりません。。。
補足、出来たら宜しくお願いします。
投稿日時 - 2002-03-01 01:49:02
  • 回答No.4
レベル10

ベストアンサー率 36% (36/98)

まさにポイントは、あなたのおっしゃている不明点、 「dy/dx(←実はこれもなん式なのかよく分かっていませんが」 ここにあります。 文字がxとyの2文字だけなら、y’とかy’’の記号で十分ですが、 3つ目の変数が出てきたら、dy/dxのような表記をしないと混同が起きることがあります。 dy/dx は yをxの関数と見て微分する、dy/dt は yをtの関数と見て微分する、 という意味です。 ...続きを読む
まさにポイントは、あなたのおっしゃている不明点、
「dy/dx(←実はこれもなん式なのかよく分かっていませんが」
ここにあります。
文字がxとyの2文字だけなら、y’とかy’’の記号で十分ですが、
3つ目の変数が出てきたら、dy/dxのような表記をしないと混同が起きることがあります。
dy/dx は yをxの関数と見て微分する、dy/dt は yをtの関数と見て微分する、
という意味です。
例えば、y=x^3+2x, y=t^4-3t の場合、
dy/dx=3x^2+2 , dy/dt= 4t^3-3
となるわけです。y'といった場合、このどちらを指して言っているのか、はっきり
しないといけません。
ここからは、あなたの挙げられた例に沿って説明します。
x= sin t , y=t^2+7t+3 の場合、
「y'/x'= (2t+7)/cos t ですよね。」
そのとおりです。ただし、ここのy'は dy/dt (yをtの関数と見て微分したもの)
、x' は dx/dt (xをtの関数と見て微分したもの)です。
このyをxの関数として微分したものは、
dy/dx=(dy/dt)÷(dx/dt)=(y')÷(x')
ということで、 (2t+7)/cos t となるわけです。

「それで、さらに、それを微分したいのですが、」
これをxで微分したものを求めるということですね。
 
「その時に、私は
{(2t+7)'*cost-(2t+7)*(cost)'}/(cost)^2
だけで良いと思うのに、」

これは、上の式をtで微分したものです。xで微分したものではありません。
xで微分したものを求めるには、
d/dx(dy/dx)=d/dx( (2t+7)/cos t )
      =d/dt ・ dt/dx ( (2t+7)/cos t )
      = d/dt( (2t+7)/cos t )・ dt/dx 
     =[{(2t+7)'*cost-(2t+7)*(cost)'}/(cost)^2 ]・dt/dx 
=[{(2t+7)'*cost-(2t+7)*(cost)'}/(cost)^2 ]÷dx/dt
このようにして、「x'で割る」必要があるわけです。

これからは、y’という記号は dy/dxに対して使い、 dy/dt には使わないようにされることをお勧めします。
補足コメント
nah

お礼率 28% (228/793)

あぁ~!なるほど!
dy/dtっていうのは、yをtの関数と見て微分するということなのですね!
で、dy/dxはyをの関数と見て微分する、、、!

でもちょっと分からないのがd^2y/dx^2の記号の意味です。
投稿日時 - 2002-03-01 02:29:48
  • 回答No.6
レベル10

ベストアンサー率 18% (28/153)

hugyさんの件で (1)y(t)'' (2)=d^2{y(t)}/d{x(t)}^2 (3)=d{y'(t)}/dx(t) (4)=d{y'(t)}/dt÷dx(t)/dt     ←先ほどの式を代入 (5)=y''/x' (1)→(2)においてはy”=(d/dx)^2・yであり (2)→(3)ではy’ ...続きを読む
hugyさんの件で

(1)y(t)''
(2)=d^2{y(t)}/d{x(t)}^2
(3)=d{y'(t)}/dx(t)
(4)=d{y'(t)}/dt÷dx(t)/dt     ←先ほどの式を代入
(5)=y''/x'

(1)→(2)においてはy”=(d/dx)^2・yであり
(2)→(3)ではy’=(d/dx)・yであり
しかし
(4)→(5)ではy”=(d/dt)・y’である
(これはy”=(d/dt)・(d/dx)・yのことかな?)

「’はtによる1階微分、”はtによる2階微分」あるいは
「’はxによる1階微分、”はxによる2階微分」のどちらかにしないと混乱します
  • 回答No.5
レベル10

ベストアンサー率 23% (21/88)

>高校生ではないです。 つい、"家て教"の悪い癖です。(^^;A 失礼しました。m(__)m 本当は先生方がすでに回答済みで、私のような学部生のでしゃばる幕はないのですが、お詫びをかねたつもりです。具体例は回答なさられているので、一般例を・・・・ yをy(t)と、そしてxをx(t)と、それぞれtについての関数だと思ってください。y'(t)=dy/dt;x&# ...続きを読む
>高校生ではないです。
つい、"家て教"の悪い癖です。(^^;A
失礼しました。m(__)m

本当は先生方がすでに回答済みで、私のような学部生のでしゃばる幕はないのですが、お詫びをかねたつもりです。具体例は回答なさられているので、一般例を・・・・
yをy(t)と、そしてxをx(t)と、それぞれtについての関数だと思ってください。y'(t)=dy/dt;x'(t)=dx/dt。これはすでに前の先生方が述べているので、そちらをご参照ください。ここからです。
y(t)''
=d^2{y(t)}/d{x(t)}^2
=d{y'(t)}/dx(t)
=d{y'(t)}/dt÷dx(t)/dt     ←先ほどの式を代入
=y''/x'
以上 敬具
  • 回答No.7
レベル10

ベストアンサー率 18% (28/153)

記号ばっかりでいまいちつかめないので、良かったら例題をお願いしたいのですが・・・。: 既にNo.3で証明したように x’=dx/dt,x”=dx’/dt,y’=dy/dt,y”=dy’/dtとすると dy/dx=y’/x’,(d/dx)^2・y=(y”・x’-y’・x”)/x’^3 x=sin(t)かつy=t^2+7・t+3の場合 x’=cos(t),x”=-sin(t),y ...続きを読む
記号ばっかりでいまいちつかめないので、良かったら例題をお願いしたいのですが・・・。:

既にNo.3で証明したように
x’=dx/dt,x”=dx’/dt,y’=dy/dt,y”=dy’/dtとすると
dy/dx=y’/x’,(d/dx)^2・y=(y”・x’-y’・x”)/x’^3

x=sin(t)かつy=t^2+7・t+3の場合
x’=cos(t),x”=-sin(t),y’=2・t+7,y”=2

従って
dy/dx=y’/x’=(2・t+7)/cos(t),
(d/dx)^2・y=(y”・x’-y’・x”)/x’^3
=(2・cos(t)+(2・t+7)・sin(t))/(cos(t))^3
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