微分の微分

質問

微分の微分は、
d^2y/dx^2=(dy'/dt)/(dx'/dt)=y''/x'
と習ったのですが、
どうして
y'' を x'で割らなければいけないのですか？
y''を求めるのだから、y'をもう一度微分すればいいのに、
と思うのですが。。。

例えば、x= sin t
y=t^2+7t+3 があります。
dy/dx(←実はこれもなん式なのかよく分かっていませんが、、、)は、
y'/x'= (2t+7)/cos t ですよね。
それで、さらに、それを微分したいのですが、
その時に、私は
{(2t+7)'*cost－(2t+7)*(cost)'}／(cost)^2
だけで良いと思うのに、本当はそれを x'で割るのですよね。
それで、答えは
{2cost+(2t+7)(sint)}/(cost)^3 としなければいけないのが
不思議でたまりません。

解説を宜しくお願いします。

回答No.3

stomachman

●y'という表記が混乱の元と思われます。
y' = dy/dt
という意味でお使いですね。右辺は何を意味しておるかと言えば「tをちょびっと変えたとき、yがどれ程変わるか。」に他なりません。ただし、この「tをちょびっと」の加減によってyの変化が違うので、yの変化はtの変化の何倍であるか、という比で表そう。これがdy/dtということです。
　yがtと無縁のものなら、tが変わろうとyが付き合って変わることはありません。この場合は変わる。ですから正確には、yは「変数」というよりも、「tによって値が決まる関数である。」と考えるべきです。つまり
y(t) = t^2+7t+3
という風に書く方がはっきりします。
　さて、tの値が幾らであるかによって(dy/dt)の値も違う（tを「幾ら」からチョビッと動かすかによって、yの変化は違う）ので、(dy/dt)はそれ自身、tに依存して値がきまる関数である。
(dy/dt)(t)
と書くとはっきりします。このことを強調したい場合、「微分」と言わず「導関数」と呼ぶのでした。
　でもこんな書き方はめんどくさいので yt(t) （このyの直後にあるtは小さい文字を下の方に添えて書く）という書き方も使います。何で微分するか（この場合t）がもう決まり切ってる場合には、さらに手抜きして、
y'(t) = (dy/dt)(t)
と書いてしまうわけです。だから ' ってのは「tによる微分」という意味であって、「単なる微分」ではない。必ず「何か」による微分であって、「単なる微分」なんてものはそもそもないのです。（ここがポイント！）

　これとは別に、もう一つ関数があって、
x(t) = sin t
である。
dx/dt = cos t
というのは、既に述べたように「tをちょびっと変えたとき、xがどれ程変わるか、を比で表したもの」です。

●さて、ご質問の問題に入る前に、次の微分を考えてみましょう。
dy/dx
こりゃどういうことでしょうか。y(t)の右辺にxなど出てこないから、両者は無縁？そうではないです。共通のtというものを介して相互に関係しているわけですね。
　dy/dxとは、「xがちょびっと変わるようにtをちょびっと変えたとき、その同じtの変化に対応してyがどれだけ変わるか、をxの変化に対するyの変化の比で表したもの」です。これはつまり「tをちょびっと動かしたとき、yがどれだけ変わるか」と「tをちょびっと動かしたとき、xがどれだけ変わるか」との比、と考えることもできる。だからこそ
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)
が成り立ちます。
　さて
dy/dx= (2t+7)/cos t
という風に右辺をtで表すと、
(dy/dx) (t) = (2t+7)/cos t
という意味ですね。これをｔで微分したものはtをちょびっと動かしたとき、(dy/dx) がどれだけ変わるか、ということを表しています。
　もし(dy/dx) の右辺をtを使わずに書いておけば、
(dy/dx) (x) =(2arcsin(x)+7)/cos(arcsin x)
ということになり、これはxの関数であり、これをxで微分したものはxをちょびっと動かしたとき、(dy/dx) がどれだけ変わるか、ということを表しています。

●んではご質問の話に入りましょう。
d^2y/dx^2
こりゃあ何でしょうか。(dy/dx)(t)という関数をさらにxで微分したいわけです。だから
g(t) =(2t+7)/cos t
と書くことにして、yのことは忘れて良し。そうすれば「g(t)をxで微分したい」、とこう言ってるのと同じですから、
dg/dx = (dg/dt)/(dx/dt)
かくて
d^2y/dx^2
= dg/dx
= (dg/dt)/(dx/dt)
=(d(dy/dx)/dt) /(dx/dt)
=(d((dy/dt) / (dx/dt))/dt) /(dx/dt)
ということに相成ります。

●最後に、nahさんがどこでチョンボしたかチェックしてみましょう。ご質問の中の
> dy/dx(←実はこれもなん式なのかよく分かっていませんが、、、)は、
> y'/x'= (2t+7)/cos t ですよね。

はい。こいつがg(t)ですね。

> それで、さらに、それを微分したいのですが、
> その時に、私は
> {(2t+7)'*cost－(2t+7)*(cost)'}／(cost)^2
> だけで良いと思う

この「それ(g)を微分したい」が失敗です。「それ(g)をtで微分したい」のなら、
dg/dt = d(dy/dx)/dt = {(2t+7)'*cost－(2t+7)*(cost)'}／(cost)^2
で大正解。でも
d^2y/dx^2
をやれ、というのですから求めるのは「それ(g)をxで微分したい」なんですね。ゆえに
(dg/dt)/(dx/dt)
をやらなくちゃいけない。

補足

私の場合は「g(t)をxではなく、tで微分」しただけだったってことですよね？

あと、それから、
d^2y/dx^2
= dg/dx
= (dg/dt)/(dx/dt)
=(d(dy/dx)/dt) /(dx/dt)、ここからの分母が何を現しているのかが
良く分かりません。。。
補足、出来たら宜しくお願いします。