線形計画法（方程式）の解き方

質問

今、線形計画法について学習しております。下記の問題について、考え方は理解できたのですが、お恥ずかしながら方程式の解き方等で難儀しております。どうか、できる限りわかりやすく解法手順をご教授いただければ幸いです。どうぞ、よろしくお願い申し上げます。

（問題）
「製品Ｘを１kg生産するには，原料Ａを４kg，原料Ｂを２kg，原料Ｃを１kg必要とし，製品Ｙを１kg生産するには，原料Ａ１kg，原料Ｂを２kg，原料Ｃを３kg必要とします。原料の在庫量は，Ａは７２kg，Ｂは４８kg，Ｃは４８kgあります。製品Ｘの売価は３万円／kg，製品Ｂの売価を２万円とするとき，利益（＝売上高。原料や生産の費用は考えないことにします）を最大にするには，製品Ｘと製品Ｙをどれだけ生産すればよいでしょうか。」
この問題文を表にすると次表になります。

　　　　　製品Ｘ　　製品Ｙ　　　原料在庫量
原料Ａ　　　４　　　　１　　　　　７２　
原料Ｂ　　　２　　　　２　　　　　４８
原料Ｃ　　　１　　　　３　　　　　４８

目的関数　
　Ｚ：　　　３　　　　２　　　→　最大

という問題なので、下記のような式が成り立つことまでは理解できたのです。ただ、この方程式の解き方がわかりません。どうか、よろしくお願いいたします。

　　　　　　　４ｘ＋１ｙ≦７２
　　　　　　　２ｘ＋２ｙ≦４８
　　　　　　　１ｘ＋３ｙ≦４８
　　　　　　（ｘ≧０，ｙ≧０）
　　　　目的関数
　　　　　Ｚ＝３ｘ＋２ｙ
　　　　を最大にする，ｘとｙの値を求める。

回答No.2

himara-hus · ベストアンサー

>上記不等号式のｙにｙ＝（ｚ－３ｘ）／２を代入すると、ｚ≦－５ｘ＋１４４
のところまではわかるのですが、
それ以降について、もう少し噛み砕いてご教示いただければありがたいのですが・・・。

　残りの二つの式も同様に代入して、Ｚ＝になおしただけです。
　すると、その３つの関数”Ｚ＝・・・”をＺをＹ軸、ｘをＸ軸として、図を書くと分かると思うのですがその３本の線で囲まれる下の部分が３つの不等号式を満たす部分になり、その淵の線上の一番大きなｚが最大のｚの値になります。
　式の２，３の交わるところも有りますが、この値は１と２が交わる点のｚより小さくなります。
　図を書いてみてください。分かると思います。

お礼

himara-husさま

おはようございます。
お忙しい中、ご親切にご教示いただきありがとうございました。私の場合、算数的な知識がかなり不足しているようで、今から猛勉強をしなければなりません。

ここ数ヶ月なのですが、こういった類の問題にぶち当たっては、頭を悩まし、時間を浪費しておりますが、これを機会に、ちと真剣に取り組んでみます。
どうもありがとうございました。

回答No.1

himara-hus

上記不等号式のｙにｙ＝（ｚ－３ｘ）／２を代入すると、
ｚ≦－５ｘ＋１４４
ｚ≦ｘ＋４８
ｚ≦７ｘ／３＋３２
上記３つの条件を満たす最大のｚとなる時のｘを求める。
上記１，２の関数が交わるところが、３条件を満たす最大Ｚのポイントとなるから、上記１，２をイコールでｘを求めるとｘ＝１６となり、
ｚ＝６４、ｙ＝８となります。

補足

himara-husさま

早速のご回答ありがとうございます。
ただ、

上記不等号式のｙにｙ＝（ｚ－３ｘ）／２を代入すると、ｚ≦－５ｘ＋１４４
のところまではわかるのですが、
それ以降について、もう少し噛み砕いてご教示いただければありがたいのですが・・・。

お手数をおかけしましが、どうぞ、よろしくお願い申し上げます。