水素原子の問題

質問

いろいろ参考書を調べたのですが、このような問題は載っていなくて困っています。
方針でもいいですので教えてください。

原点に水素原子があり
(1)ｚ軸上の±aのところに、-Zeの点電荷が置かれている場合
(2)x,y,z軸のそれぞれの±aのところに、-Zeの点電荷が置かれている場合
について点電荷から受ける水素原子の電子のポテンシャルV(r)をx/a、y/a、z/a、r/aに関して４次の項まで求めろ。という問題です。

シュレディンガーの式にV(r)＝-1/4πε・(e^2/r)＋追加のポテンシャルが足されると思うのですが、この追加ポテンシャルがどうなるかよくわからないのです。そもそも座標を極座標にしないと計算できないような気がするのですが？教えてください。

回答No.3

ojisan7 · ベストアンサー

雑な回答の仕方をしてすみません。少し整理して回答させて下さい。訪ねているのは、追加のポテンシャルですね。そうすると、
（１）の追加のポテンシャルは、
Ze^2/|z-a|＋Ze^2/|z+a|　・・・（＊）
となります。|z|<<|a|とすると、|z|/|a|のべき級数で展開できます。各項の係数はルジャンドル多項式になります。（＊）の奇数べき(ｌが奇数）の項はP_[l]が奇関数ですから０になりますね。
（２）の追加のポテンシャルは、電子が点(x,y,z)[位置ベクトルｒ]にあるとして、ポテンシャルを求めます。基本的な考え方は（１）と同様です。ｘ軸上の、±aのところに置かれた、点電荷による追加ポテンシャルを求めたら、y軸,z軸は、も同様ですので、それらを加えれば良いのです。

使うルジャンドル関数は、ｘ軸の点電荷の場合、
1/|r-a|=1/a|Σ|(r/a)＾[l]P_[l]（x/r)
1/|r+a|=1/a|Σ|(r/a)＾[l]P_[l]（-x/r)
となりますね。ただし、左辺のr,aはベクトル、右辺のr,aはスカラーですので間違えないで下さい。

とにかく、計算は面倒くさくなりますが、この手順で計算すれば、求めることができると思います。（私は、計算が面倒なので、途中でやめました。後は根気の問題です。）

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。非常に助かります。この問題は量子力学の授業で出されたので、てっきり量子の問題かと思っていましたが、実際は電磁気の問題なのですね。電気双極子の問題みたいですね。量子の事項は使わなくていいのですよね？
(1)は(おそらく)出来ました。
(2)はう～んてな感じです。
確かに計算がすごそうですね…。

回答No.2

ojisan7

早合点をしてしまいました。（１）についてはそのポテンシャルで良いと思います。（２）については電子が点(x,y,z)[位置ベクトルｒ]にあるとして、ポテンシャルを求めます。基本的な考え方は（１）と同様です。ただし、r,aをベクトルとしたとき、1/|r-a|を|a/r|で、べき級数展開（テーラー展開）すれば、各項の係数はルジャンドル多項式に等しくなります。式で書けば、
1/(r-a)＝1/|r|Σ|a/r|＾[l]P_[l]（cosθ)
となります。ただし、cosθはrのa方向への方向余弦です。

お礼

回答ありがとうございます。
ちょっと追加でお聞きしたいのですが、
(2)はなぜ1/|r-a|=1/a|Σ|(r/a)＾[l]P_[l]（x/r)
1/|r+a|=1/a|Σ|(r/a)＾[l]P_[l]（-x/r)
になるのでしょうか？
ここをもう少しご教授願えないでしょうか？
お願いします。
ちょっとコメントが逆になってしまいました。
すみません。

回答No.1

ojisan7

考え方の方針だけ示します。
（１）については電子の座標をzとしたとき、電子のポテンシャルはすぐに導けますね。
V=-e^2/z＋Ze^2/(z-a)＋Ze^2/(z+a)
この式をテーラー展開して、z/aに関して４次の項まで求めればよいわけです。
（２）は（１）が求められればすぐにできます。ポテンシャルはスカラー量ですから、ｘ軸、ｙ軸、ｚ軸それぞれの和をとれば良いだけです。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
追加のポテンシャルがV=-e^2/z＋Ze^2/(z-a)＋Ze^2/(z+a)ということですか？
これは量子力学の授業の問題で、
ヒントにルジャンドルの多項式がかいてあるのですが…。