0.33333…

質問

1/3（三分の一）は少数にすると
0.33333333…
2/3は0.66666666666666…

3/3は0.99999999999…にならずに
何故１となるんでしょうか？

回答No.9

karen0109 · ベストアンサー

前にこういう証明問題がありました。

『１＝０．９９９…』

これを解くには左辺・右辺を３で割る。

　　　 １/３＝０．９９９…/３　
０．３３３…＝０．３３３…

よって１＝０．９９９…が証明される。

このような考えではどうでしょうか(*´艸`)

回答No.11

ojisan7

0.999999…は、数学的には１です。実数論の立場から、その理由をわかりやすく説明しましょう。
実数の定義については、デデキントの切断がポピュラーですが、実数を構成する立場から言えば、カントール流の構成法の方が理解しやすいのではないでしょうか。

カントールは、有理数のコーシー列の同値類を「実数」と定義しています。
同値関係は以下のようにします。
有理数のコーシー列{a_n},{b_n}があったとき、
∀ε>0,∃n∈N,m>nである任意の自然数mに対して、　
|a_m-b_m|<εを満たすとき、
{a_n}～{b_n}
と定義します。（当然、この定義は、四則演算に対してWell definedですよね。）

１と0.999999…について、これを適用すると、　
1,1,1,1・・・というコーシ列と
0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ・・・というコーシ列
は同じ同値類に入ります。定義により、この同値類が「１」という実数になります。

回答No.10

sanori

＃５の者です。

＃７さんが紹介されたサイトによって
私の前回回答における動物Ａ，Ｂは
Ｂ＝兎、Ａ＝亀
であることが判明しました！
感謝。

（だけど、本で見たのは、９０％ずつでなくて、５０％ずつだったような・・・）

回答No.8

nabla

0.999…というのがある数字を指していると思ったらこの問題は絶対に納得できません。

0.999…というのは0.9という数字に始まって、どんどん9をくっつけるという操作を続けていった「行きつく先」を表しているんです。
9を十分たくさんくっつければ0.999…はいくらでも１に「近づき」ます。

そしてここが重要なんですが、数学では実数を定義したときに「行きつく先が一緒なら同じ数字と見なす」という約束をしているんです。つまり0.999…＝1はこの約束事によって決まっていることなんです。

回答No.7

take008

参考ＵＲＬの「兎と亀」も参考になると思います。

参考URL：

http://www.ss.u-tokai.ac.jp/~ooya/Misc/Shiryou/index.shtml

回答No.6

tadys

1/3=0.333… となるのは、10進法では1/3を正確に表現できないからなんです。
0.333…の場合は10進法ではこれ以上正確に表すことが出来ません。
これは数字ではなくて、1/3を表す記号（3倍すると1になる）でしかないのです。
0.999…の場合も同様に1/3を3倍した記号でしかないので1になって当然です。

別のスレッドにｎ進法の話題がありますが、1/3を3進法で表すと1/10＝0.1となって
3倍すると1になることに何の問題もありません。

10進表示　　　　 　3進表示
分数　　少数　　 　分数　　少数　
1/3　　0.3333…　　1/10　　0.1
2/3　　0.6666…　　2/10　　0.2
3/3　　0.9999…　　10/10　 1.0
4/3　　1.3333…　　11/10　 1.1

ちなみに、10進法の1/5を3進法で表すと、
1/11 = 0.020202… となります。これを5倍（3進表記で11倍）すると、
0.222222… = 1 となります。

10進法で正確に表現できる数には限度があるということです。ただし、0.999…のような場合には正確に1と表すことが出来ます。

1/3のように分数を使えばもう少し広い範囲の数を表現できるようになります。
√記号を使えば、さらに広い範囲の数を表現できます。
πのように、分数や√記号を使っても表現できない数もありますね。

回答No.5

sanori

私も＃３さんの説明が一番良いと思います。

質問者さんの趣旨は、こういうことなのでは？

「９」が、ずっと続くということは
0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009 + ・・・

これは、高校で習う「等比数列（等比級数）の和」ですね。

例えば、
1/2 + (1/2)^2+(1/2)^3+(1/2)^4+(1/2)^5+・・・＝１
です。
以下、その導出過程。

Ｓ＝Σ[1→n](1/2)^k
　＝ 1/2 + (1/2)^2+(1/2)^3+(1/2)^4+・・・+ (1/2)^(n-1) + (1/2)^n

Ｓ＊1/2 ＝ (1/2)^2+(1/2)^3+(1/2)^4+・・・+ (1/2)^n- + (1/2)^(n+1)

Ｓ－Ｓ＊1/2
　＝ Ｓ＊1/2 ＝ 1/2 － (1/2)^(n+1)

よって、Ｓ ＝ １ － (1/2)^n
ｎ→＋∞　の極限値は、Ｓ＝１
（極限では (1/2)^n がゼロなので。）
---------

上記の例を、一般化してみます。

Ｓ ＝ Σ[1→n](1/m)^k
　＝ 1/m + (1/m)^2 + (1/m)^3 + ・・・ + (1/m)^(n-1) + (1/m)^n

Ｓ／ｍ ＝ (1/m)^2 + (1/m)^3 ・・・ + (1/m)^n + (1/m)^(n+1)

Ｓ－Ｓ／ｍ
　＝ Ｓ・（ｍ－１）／ｍ ＝ 1/m - (1/m)^(n+1)
よって
Ｓ・（ｍ－１）＝ １ － (1/m)^n
Ｓ ＝ ｛１ － (1/m)^n｝÷（ｍ－１）

では、上記のことを、いよいよ、
0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009 + ・・・
に当てはめます。

0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009 + ・・・
　＝ ９×（0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 + 0.00001 + ・・・）
　＝ ９× （1/10 + 1/100 + 1/1000 + 1/10000 + ・・・）
と書けます。

つまり、
求める答えをＡと書けば
Ａ ＝ ９×Ｓ ＝ ９×Σ[1→n](1/10)^k
と書けますから、
Ａ ＝ ９×Ｓ
　＝ ９×｛１ － (1/10)^n｝÷（１０－１）
　＝ １ － (1/10)^n

ｎ→＋∞　では、
limＡ(ｎ→＋∞) ＝ １

この考え方ですと
「小数点第１位から、９を無限に書き続けた極限が、１」
つまり、
「０．９を始点として１に近づいてゆき、そして、１に非常に近づくが、１ちょうどに届くことはない。」
ということになります。

よく本に書いてある、有名な、なんちゃらのパラドックス（名前覚えてないですが）と同じです。

動物Ａと動物Ｂがいて、
Ａは、自分が現在立っているところからゴールまでの中間地点まで、ジャンプ。
Ｂは、Ａがジャンプする前にいたところにジャンプ。
そして、
Ａは、また、その地点からゴールまでの中間地点までジャンプし、Ｂは、その、Ａがジャンプする前にいたところまでジャンプ。
そして、
Ａは、また、その地点からゴールまでの中間地点までジャンプし、Ｂは、その、Ａがジャンプする前にいたところまでジャンプ。
そして、
・・・・・・・・・・ＢはＡに追いつくことができない？
（現実には、Ａの体の太さはゼロでないので、追いつけますが）

まー結局、＃３さんと同じような導出をやってるんですけどね・・・。

回答No.4

wps_2005

0.99999999999…＝1 ということはすでに書かれているとおりですし、No.3で書かれているように説明されることが多いですよね。
逆に、私は、質問者さんが挙げた事実が
0.99999999999…＝1
であることのわかりやすい説明になってるかなと思います。
0.33333333333…＝1/3 が納得できるなら、
それぞれの３倍である、
0.99999999999…＝1 も納得できるでしょ
って感じで。

余談ですみません。

回答No.3

prog-R

というより、0.99999999999…=1なのではないでしょうか？
x=0.99999999999…とおくと
10x-x=9x=9となります。
よってx=1です。

回答No.2

skybluez

それは割り切れるからです。

また数学的には０．９９９９・・・＝１です。

感覚的にはおかしいと思われがちですが、「１」です。
ある数学者が言っていましたが、高名な物理学者がそんなことはないと食って掛かって嘆いていたことがあるそうです。

回答No.1

asuca

３が素数だからでは？
１／３は計算すると0.333333....ですが数式上はあくまでも1/3です。
（PCで計算すると１／３に３をかけると0.99999....になりますが2進で計算しているからです。むかしカシオが出した10進計算のPCではちゃんと１になるというのを売りにしていましたが）