0.33333…

質問

1/3（三分の一）は少数にすると
0.33333333…
2/3は0.66666666666666…

3/3は0.99999999999…にならずに
何故１となるんでしょうか？

回答No.5

sanori

私も＃３さんの説明が一番良いと思います。

質問者さんの趣旨は、こういうことなのでは？

「９」が、ずっと続くということは
0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009 + ・・・

これは、高校で習う「等比数列（等比級数）の和」ですね。

例えば、
1/2 + (1/2)^2+(1/2)^3+(1/2)^4+(1/2)^5+・・・＝１
です。
以下、その導出過程。

Ｓ＝Σ[1→n](1/2)^k
　＝ 1/2 + (1/2)^2+(1/2)^3+(1/2)^4+・・・+ (1/2)^(n-1) + (1/2)^n

Ｓ＊1/2 ＝ (1/2)^2+(1/2)^3+(1/2)^4+・・・+ (1/2)^n- + (1/2)^(n+1)

Ｓ－Ｓ＊1/2
　＝ Ｓ＊1/2 ＝ 1/2 － (1/2)^(n+1)

よって、Ｓ ＝ １ － (1/2)^n
ｎ→＋∞　の極限値は、Ｓ＝１
（極限では (1/2)^n がゼロなので。）
---------

上記の例を、一般化してみます。

Ｓ ＝ Σ[1→n](1/m)^k
　＝ 1/m + (1/m)^2 + (1/m)^3 + ・・・ + (1/m)^(n-1) + (1/m)^n

Ｓ／ｍ ＝ (1/m)^2 + (1/m)^3 ・・・ + (1/m)^n + (1/m)^(n+1)

Ｓ－Ｓ／ｍ
　＝ Ｓ・（ｍ－１）／ｍ ＝ 1/m - (1/m)^(n+1)
よって
Ｓ・（ｍ－１）＝ １ － (1/m)^n
Ｓ ＝ ｛１ － (1/m)^n｝÷（ｍ－１）

では、上記のことを、いよいよ、
0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009 + ・・・
に当てはめます。

0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009 + ・・・
　＝ ９×（0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 + 0.00001 + ・・・）
　＝ ９× （1/10 + 1/100 + 1/1000 + 1/10000 + ・・・）
と書けます。

つまり、
求める答えをＡと書けば
Ａ ＝ ９×Ｓ ＝ ９×Σ[1→n](1/10)^k
と書けますから、
Ａ ＝ ９×Ｓ
　＝ ９×｛１ － (1/10)^n｝÷（１０－１）
　＝ １ － (1/10)^n

ｎ→＋∞　では、
limＡ(ｎ→＋∞) ＝ １

この考え方ですと
「小数点第１位から、９を無限に書き続けた極限が、１」
つまり、
「０．９を始点として１に近づいてゆき、そして、１に非常に近づくが、１ちょうどに届くことはない。」
ということになります。

よく本に書いてある、有名な、なんちゃらのパラドックス（名前覚えてないですが）と同じです。

動物Ａと動物Ｂがいて、
Ａは、自分が現在立っているところからゴールまでの中間地点まで、ジャンプ。
Ｂは、Ａがジャンプする前にいたところにジャンプ。
そして、
Ａは、また、その地点からゴールまでの中間地点までジャンプし、Ｂは、その、Ａがジャンプする前にいたところまでジャンプ。
そして、
Ａは、また、その地点からゴールまでの中間地点までジャンプし、Ｂは、その、Ａがジャンプする前にいたところまでジャンプ。
そして、
・・・・・・・・・・ＢはＡに追いつくことができない？
（現実には、Ａの体の太さはゼロでないので、追いつけますが）

まー結局、＃３さんと同じような導出をやってるんですけどね・・・。