AIのあいちゃん教えてください。円運動。

質問

AIのあいちゃんに聞きたいです。

相対性理論による答えを知りたいです。

平坦な空間に、半径Rの円があります。その円周を兄弟が逆向きにそれぞれ速度vで円運動しています。また、父は、その円周上の一点に静止しています。

ちなみに、半径Rは非常に大きく、vは光速未満で非常に速い速度です。ここで、v=kcとします。
(cは光速、k＜1)

3人は時計を持っています。
兄弟は連続的に運動していますが、ある瞬間に3人は同じ位置にいました。そのタイミングで、3人はみんな時計の時刻を0に合わせました。このときを起点にします。

まとめると、父は静止を続け、兄と弟は逆向きに動き続けます。兄と弟は半周ごとにスレ違います。そして、1周ごとに3人ともスレ違います。

以上の設定で、次のことを教えてください。

質問①
父からみた父の時計の時刻と、父からみた兄の時計の時刻の関係を式で表すとどうなりますか。

質問②
兄からみた兄の時計の時刻と、兄からみた父の時計の時刻の関係を式で表すとどうなりますか。

質問③
兄からみた兄の時計の時刻と、兄からみた弟の時計の時刻の関係を式で表すとどうなりますか。

よろしくお願い致します。

回答No.13

Nakay702

納得できたわけではありませんが、これ以上嫌われたくないので、これを最後とします。

私の説明・主張の論拠は極めて手短かに集約できます。つまり、「亜光速で飛行する慣性系で時間が遅れるという現象は、《その速度とのみ相関し、進行の方向とは無関係である》。」ということです。

補足

＞「亜光速で飛行する慣性系で時間が遅れるという現象は、《その速度とのみ相関し、進行の方向とは無関係である》。」

慣性系ではありません。
質問をじっくり見つめてください。

あなたは、物理学が好きでも回答者にはならないでください。確実に正解を答えられるものなら回答してもいいですが、自分のキャパを越えた問題には、それなりの知識が必要です。その知識がないままに、知っていることの延長だけでは答えは出ません。回答者は正解を求めて質問しています。ちゃんと理解している人、圧倒的知識と経験をもって正解を教えてくれる人の回答を求めています。

回答No.12

veryyoung

回答No.10　にいただいたコメントに関してです。

＞　・・兄が感じる加速度(力)があるとなると、その辺は、どうするのかわかりません。

加速度 a の観測者から加速度方向 L の距離にある場の時間テンポは、
　1 + a L / c^2　で良いのでは。方向が異なれば内積です。

なお、回答No.9　にいただいたコメントに関して気づいた事がありました。

＞　兄を固定して静止したようにすると、進むべき円周が兄を通り過ぎていくことになります。その円が縦だけ圧縮された楕円になります。

うっかり誘導されてしまいましたが、これは誤りでしょう。軌道のどこも観測者に対し同じ相対速度を持っていますから、縦横均等に圧縮され、楕円ではなく、半径の小さい円になる筈です。尖がりは無い。相対論的効果により車輪が縮むのと同じです。観測者が、円周上に位置しようが、円中心に居ようが同じです。軌道側を固定、観測者を動かせば近似的に楕円に見えるかもしれませんが、観測者を止め軌道側を動かせば、それは円と言う事です。

補足

いろいろわからなくなりますが、兄からみた弟の速度の導き方を思い付きました。それは父を利用することです。

見通しを書くと

兄からみた父の速度は、父からみた兄の速度の符号を逆にするだけです。これをx成分とy成分について行います。これで兄からみた父の速度が求まります。

次に、父からみた弟の速度を出します。これもx成分とy成分に分けて出します。

最後に、速度合成を使って、兄からみた弟の速度を出します。

これでできるのではないかと思いました。また、速度を積分したら位置なので、兄からみた弟の軌道もわかるかもしれません。

やってみます。

円の中心からの角度でみて、兄がθの角度にいるときの兄の速度は
(vcosθ,vsinθ)です。これは父からみた兄の速度と言えます。だから、兄からみて父の速度は(-vcosθ,-vsinθ)です。[ちなみに速度ベクトルの絶対値はvです]。

次に兄がθの角度のとき弟は)です。

この2つで速度合成をします。すると、兄からみた弟の速度が出ます。

ここまで。

回答No.11

Nakay702

回答＃２，４です。
補足を拝見しました。

≫つまり、兄から弟を見ても、弟から兄を見ても、いずれも相手は自分と同じに見える。 ＞間違っていると思います。
⇒私の計算式からは、そういう結果が出る、ということです。
なお、このことは、遡って、「無理やり、双子のパラドックス。」や、「相対性理論を数学として教えてください。」でお答えしたことと同じ結論です。

＞相手が自分と同じ時刻なのは、相手と自分がスレ違う瞬間だけだと思います。
⇒そうですか。では、あなたの計算式をご披露していただけませんか。そうすれば、私の間違いだったことに気づくことができるかも知れませんので、よろしくお願いします。

補足

答えを聞いているのは私です。

しかし、あなたの式が間違っているのは、答えがわからなくても論理的にわかります。そういう場合だから、指摘しています。

回答No.10

veryyoung

回答No.8、9 にいただいたコメントに関してです。

ローレンツ短縮による楕円の尖った点に兄が居座るというのは、弟とのすれ違いの相対速度上限を光速に抑える、相対論的速度合成の別の見方でしょう。兄に対する軌道の速度というのは、弟の速度に加わるオフセットというモデルですね。楕円短軸方向は軌道速度のオフセットが大きいからこそ縮んでみえているのですから、おっしゃる論理展開の因果関係は転倒しているように見えます。弟が他の部分を動いている時の相対速度より、すれ違いの相対速度を減じるような効果は無いのではありませんか。
兄を静止させると言う操作は、兄の法線加速度を消滅させ、また弟に４倍の法線加速度を与えるという事で、問題の設定が変わってしまいませんか。さらに弟の相対運動が回転になってしまいますので、一つの座標成分 ( xA - xB ) が常に零というようなご利益もありません。兄を静止させて見通しが良くなると思えませんが、期待するものは何でしょう。

補足

＞兄を静止させて見通しが良くなると思えませんが、期待するものは何でしょう。

期待というか、目を向ける
主役は常に(t,x,y)座標の原点にいさせて、t,x,y軸はそれぞれ直交させて対象物の運動とか時間を考えるものだと思っていました。慣性系だとそうだと思います。しかし、これに主役である兄が感じる加速度(力)があるとなると、その辺は、どうするのかわかりません。

回答No.9

veryyoung

回答No.8の投稿に訂正があります。

・・仮に楕円に変化したとしても・・
を
・・仮に縦長の８の字に変化したとしても・・
に訂正させてください。あくまでも「仮に」のままですが・・。

補足

#8への補足は書きました。

こちらはこちらで、
確認ですが、兄を固定して静止したようにすると、進むべき円周が兄を通り過ぎていくことになります。その円が縦だけ圧縮された楕円になります。兄は動かずに、楕円の尖った部分に常に居続けます。弟は、兄からみると、楕円の周を運動します。・・・と思います。

回答No.8

veryyoung

＞　回答No.7ににいただいたコメントに関してです。

90度方向を y 軸とするなら、yA - yB は零を挟んで正負に変化し、また、基本は、xA - xB = 0 、つまり一方を基準とすれば、他方は正負の往復直線運動です。往復が僅かに食い違い仮に楕円に膨れたとしても、スレ違い点は、尖った小回りの部分ではなく、直線的部分でしょう。錯覚されていませんか。

補足

＞仮に楕円に膨れたとしても、スレ違い点は、尖った小回りの部分ではなく、直線的部分でしょう。錯覚されていませんか。

楕円に膨れるのではなくて、兄の進行方向(接線方向)がローレンツ収縮するのだから、圧縮されたような楕円です。これは横長の楕円です。横長といっても、長いほうの直径は圧縮しません。だから、兄は常に楕円の尖った部分にいます。そして、常に兄を静止ととらえて原点とすると、進行方向が１つの座標軸で、楕円の中心方向がもう１つの座標軸です。

余談ですし、繰り返しになりますが、ちなみに弟は楕円の周の長さを航行しますが、兄は軌道となる円を前から後ろに送り出しながら静止しているとすると、送り出す円の長さは楕円の周の長さではなく、楕円の短い方の直径と同じ直径の円周の長さです。尖ったところにいつもいるのだからそうなります。

回答No.7

veryyoung

回答No.6ににいただいたコメントに関してです。

＞　最も相対速度が大きいのは、兄からみて弟が90度(客観的には45度)のときと135度のときです。

考察は慎重に定量的に行ってください。すれ違う時最大だった相対速度が、ローレンツ収縮を組み入れたことにより、いきなりそのように変化すると言う帰結は奇妙でしょう。

補足

そうですね。
慎重さに欠いていました。

スレ違うときは、相手は楕円形の尖った部分を小回りをきかせて動きます。相手が90度(客観で45度)のときは相手は楕円の平たい部分にいて、自分から直線的に遠ざかります。どちらが相対速度が大きいかは、すぐにはわかりません。(実は、楕円なので自分からみて90度とは言えません。客観的には45度です)

回答No.6

veryyoung

回答No.5ににいただいたコメントに関してです。

＞　ちょうど、双子のパラドックスの慣性系の乗り換えみたいなことが起こるのではないかと思いました。それが起こるとしたら、90度近辺ではないのかなと。だから、90度では一瞬、相手と同時刻になると思います。

ニュアンスは理解できないこともありませんが、様相はかなり異なるようです。法線加速度は常に一定で、変化するのは、相手までの距離と、法線加速度の相手方向への射影成分です。また双方が動いているので、同時刻になる点も異なります。双子のパラドックスの最遠点停止時には同時刻になりませんよね。

＞　どんな数式になるのかはわかりませんが・・・

https://okwave.jp/qa/q10085974.html　の回答No.5　をご覧ください。A、B の時刻差は、
ΔT = - ∫ ( R w / c )^2 cos( 2 w t ) dt = - w ( R / c )^2 sin( 2 w t )
のように近似できるまでの過程を述べています。図も参考になると思います。
今回のプログラムは、加速度、距離のベクトル内積を取る過程から後を数値計算で行っているだけです。なお前回は、180度の時刻一致に目が行って、90度での一致を見逃してしまっていますが、数式には正しく反映されています。

補足

ありがとうございます。
まだ、完全には理解できませんが、お答えをじっくり考えます。

ちょっと気づいたことがあります。

兄は、自分が回っている円周がどのように見えるかというと、ローレンツ収縮によって常に進行方向が1/γ倍(γはローレンツ因子)に圧縮されたような楕円に見えます。
(自身から計算した一周の飛行距離は楕円の円周ではなく円周が1/γ倍になった距離です。これは、常に目前の微小な道のりが圧縮しているからです)

ここで、兄は常に自身を静止した原点にいると考えたとき、弟はその変形した楕円上を飛びます。

その考えでいくと、兄からみて弟が相対速度0になる瞬間は一瞬もありません。90度のときも(兄からみると180度)、相対速度はあります。そして、最も相対速度が大きいのは、兄からみて弟が90度(客観的には45度)のときと135度のときです。

それでいくと、相対速度は方向を変えながら、兄からみた弟と自身の直線方向の微小変化から計算されるものだと思います(複雑そうです)。

楕円の形から想像すると、弟の時間テンポは兄からみた180度のときに最小となります。

これらに自身の加速度によるポテンシャルの違いも関係すると思います。

回答No.5

veryyoung

回答No.3ににいただいたコメントに関してです。

＞　90度のときは、時刻のズレが最大になると思います。

添付図のような状況を想像してください。直線飛行に移れば加速度無し、また再会までの期間を長く取れば接近速度はいくらでも小さくできます。接近速度に反比例して再会までの時間は長くなってしまいますが、相手の「時間遅れは接近速度の２乗に対して発生」することに注意してください。相対論的効果は零に収束できます。つまり90度の地点でも同時刻は必然と言うことになります。

＞　もっと細かくいうと・・・、そのあと一気に・・・

加速度の急峻な変化はありませんし、仮に急峻な加速度変化があったとしても、時刻はテンポの積分ですから、時刻差は滑らかに推移するでしょう。Fig.3 のグラフの曲線は、-sin(2wt) あるいは別表現で、-sin(2θ) です。相手の時計は、45度で遅れ最大、135度で進み最大、90度、180度で一致のようです。

お礼

すみません。確かに、急激に時計が進む必要はないですね。45度から135度にかけて、挽回するのですね。

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補足

180度で時刻が合うということは決まっていますよね。

そして、スレってしばらくは特殊相対性理論のような状態ですよね。相手の時間の進みは遅く、時刻も遅れていきます。で、中を飛ばして、再びスレ違う直前を考えると、やはり、特殊相対性理論に近い状態ですよね。相手の時間の進み方は遅いはずです。それなのに、そのあと時刻が揃うということは、相手の時刻は、自分よりも未来でないとうまくいきません。相手の時刻は未来で時間の進み方はゆっくりなら、再会するときに時刻が揃います。

スレ違った直後は、相手の時刻が自分よりも過去で、再会の直前は、相手の時刻が自分よりも未来ということは、その中間のどこかで、相手の時刻が急激に過去から未来に飛んでいるところがありそうです。

ちょうど、双子のパラドックスの慣性系の乗り換えみたいなことが起こるのではないかと思いました。

それが起こるとしたら、90度近辺ではないのかなと。だから、90度では一瞬、相手と同時刻になると思います。

どんな数式になるのかはわかりませんが、流れとしては、それがスッキリします。

どうでしょう。

回答No.4

Nakay702

＞少なくとも質問③の答えは違うと思います。
⇒質問③の先を続ければ、
∴ Ty'／Te'＝〔Ty・√（１－vy²／c²）〕／〔Te・√（１－ve²／c²）〕
＝〔Ty・√（１－〈-v〉²／c²）〕／〔Te・√（１－ve²／c²）〕＝１
∴ Ty'＝Te'
つまり、兄から弟を見ても、弟から兄を見ても、いずれも相手は自分と同じに見える。

補足

＞つまり、兄から弟を見ても、弟から兄を見ても、いずれも相手は自分と同じに見える。

間違っていると思います。
相手が自分と同じ時刻なのは、相手と自分がスレ違う瞬間だけだと思います。