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体と言われる代数系においては、0に逆元0^-1はありません。 従って、0^0=0^-1*0^1=1 とはされていません。 逆に言えば、体でなければ、0に逆元が存在し、0^0=1 とすることができるだろうと予想されます。 この質問では、以前の質問の回答を踏まえて、３元で考えます。 http://okwave.jp/qa/q7989312.html 次のような代数系を定義します。 -- ここから -- 集合X = {0, 1, Z} とする。 加法を次のように定義する。 0+0=0, 0+1=1, 0+Z=Z 1+0=1, 1+1=0, 1+Z=Z Z+0=Z, Z+1=Z, Z+Z=Z 乗法を次のように定義する。 0*0=0, 0*1=0, 0*Z=1 1*0=0, 1*1=1, 1*Z=Z Z*0=1, Z*1=Z, Z*Z=Z この代数系では、体での基本法則は以下のようになる。 ・加法において、交換法則と結合法則は成立する。 ・加法単位元は0で、Z以外は逆元 -0=0, -1=1 が存在する。 ・乗法において、交換法則は成立する。 ・乗法において、Zを除いた0, 1で結合法則は成立する。 ・乗法単位元は1で、逆元 1/0=Z, 1/1=1, 1/Z=0 が存在する。 ・Zを除いた0, 1で分配法則は成立する。 ・0≠1。 つまり、Zを除けば、この代数系は体になる。 -- ここまで -- この代数系で、べき乗を定義します。 べき乗：a^1=a, a^(n+1)=a^n*a より 0^1=0, 0^2=0, 0^3=0, … 1^1=1, 1^2=1, 1^3=1, … Z^1=Z, Z^2=Z, Z^3=Z, … さらに a^-1=1/a, a^-n=(a^-1)^n より 0^-1=Z, 0^-2=Z, 0^-3=Z, … 1^-1=1, 1^-2=1, 1^-3=1, … Z^-1=0, Z^-2=0, Z^-3=0, … そして a^0=a^-1*a より 0^0=1 1^0=1 Z^0=1 となります。 以上の結果から、次のことが分かります。 加法の単位元を０で表し、乗法の単位元を１で表すとき、０＾０＝１となる。 …という例が存在する。 つまり、体に０の逆元を添加し、分配法則が成立しない代数系では、０＾０＝１となることがある。 ここまでの計算とこの結論は妥当ですか？

次の代数系の部分代数系をすべて示せ。各部分代数系に単位元が存在すればそれを示せ。という問題なのですが、解答と解説を詳しく教えてください。 (1) (Z6;・) Z6={0,1,2,3,4,5}、・は、６による剰余積。 (2) (Z12;+) Z12={0,1,2,…,11}、＋は、12による剰余和。

体と言われる代数系においては、0に逆元0^-1はありません。 従って、0^0=0^-1*0^1=1 とはされていません。 逆に言えば、体でなければ、0に逆元が存在し、0^0=1 とすることができるだろうと予想されます。 次のような代数系を定義します。 -- ここから -- 集合X = {0, 1} とする。 加法を以下のように定義する。 0+0=0, 0+1=1 1+0=1, 1+1=0 乗法を以下のように定義する。 0*0=1, 0*1=0 1*0=0, 1*1=1 この代数系では、体での基本法則は以下のようになる。 ・交換法則と結合法則は、加法と乗法で成立する。 ・加法単位元は0で、-0=0, -1=1 となる。 ・乗法単位元は1で、1/0=0, 1/1=1 となる。 ・0≠1。 ・分配法則は成立しない。 -- ここまで -- この代数系で、べき乗を定義します。 べき乗：a^1=a, a^(n+1)=a^n*a より 0^1=0, 0^2=1, 0^3=0, … 1^1=1, 1^2=1, 1^3=1, … さらに a^-1=1/a, a^-n=(a^-1)^n より 0^-1=0, 0^-2=1, 0^-3=0, … 1^-1=1, 1^-2=1, 1^-3=1, … そして a^0=a^-1*a より 0^0=1 1^0=1 となります。 以上の結果から、次のことが分かります。 加法の単位元を０で表し、乗法の単位元を１で表すとき、０＾０＝１となる。 …という例が存在する。 つまり、０＾０が未定義なのは、体に固有の問題であり、 分配法則が成立しない代数系では、０＾０＝１となることがある。 ここまでの計算とこの結論は妥当ですか？

代数系の勉強をしています。 しかし、まったくわかりません。 ３次対称群の位数３の部分群の求め方や、各元で生成される巡回部分群の求め方、（R*,X),(z,+)とは何ですか？ 丁寧に教えてください。よろしくお願いします。

整域に関してですが・・・・ 二つの整域 ( R1, +1, *1 )、 ( R2, +2, *3 ) に対して、代数系 ( R, +, * ) を次のように定義する。 R = R1 * R2　(直積集合) 。任意の a1, b1 ∈ R1、a2, b2 ∈ R2 に対して、 加法 : ( a1, a2 ) + ( b1, b2) = ( a1 +1 b1, a2 +2 b2) 乗法 : ( a1, a2 ) * ( b1, b2) = ( a1 *1 b1, a2 *2 b2) とする。このとき、R1 および R2 の零元を、それぞれ 01 および 02 で表すとき、R の零元を示せ。 という問題があるのですが、この零元は単に 01 * 02 とすればよいのでしょうか？ また、この代数系 ( R, +, * ) は整域にならないとあるのですが、それは整域が乗法に関して零因子を持たない、といった理由からなのでしょうか？ 回答、よろしくお願い致します・・・・m(__)m

リー代数の単純ルートに関してわからないことがあります。 (h*_R)：双対実カルタン部分代数 Δ：ルート系 ｛v_1,…,v_n｝：(h*_R)の基底 (h*_R)の一つの元αは、α＝Σ^n_(i=1)(a_i)(v_i)（a_i：実数）と書くことができ、別の元βはb_iを用いて表現できる。ここでαとβの大小関係を以下で定める。 α＞β⇔ a_1=b_1,…, a_(s-1)=b_(s-1), a_s＞b_s（1≦s≦n） この大小関係で、α＞0となるα全体の集合を(h*_R)+と書き、さらに、Δ⋂ (h*_R)+＝Δ+とおく。 αをΔ+の中で上記の大小関係で最小のもの、すなわち、α_1=min(Δ+)とする。 また、Δ+からα_1の実数倍となる集合＜α_1＞を除いたものを、(Δ+)－＜α_1＞と書き、α_2=min((Δ+)－＜α_1＞)とおく。 次に、α_1, α_2の線形結合で表わされる２次元実部分空間を＜α_1, α_2＞と書き、Δ+からその空間を除いたものを、(Δ+)－＜α_1, α_2＞と書いて、α_3=min((Δ+)－＜α_1, α_2＞)とする。 これを続けるとn個の元の集合Π＝｛α_1,…,α_n｝が得られる。このように作ったΠの任意の元α_iに対して次が成り立つ。 (1)α_i∈Δ+ (2)α_i＝β＋γ（β,γ∈Δ+)と表わすことができない。 この２つをみたすルートを単純ルートという。 と本にあったのですが、α_iに対して、(2)がなぜ成り立つのかがわかりません。 大変恐縮ですが、証明を教えていただきたいです。 よろしくお願いします。

非負整数全体の集合Nのべき集合をP(N)と表し、集合の共通部分を求める演算を∩と表す。次の２つの性質が成立するので、代数系( P(N), ∩ )はモノイドである。 性質１：　演算∩が結合律を満たす。つまり、 　　　　　∀A,B,C ∈ P(N) ( (1) )。 性質２：　演算∩に関する(2)が存在する。つまり、 　　　　　∃A ∈ P(N) ∀B ∈ P(N) ( A∩B=B ∧ B∩A=B )。 問１　上の文章の空欄(1)に入る式と空欄(2)に入る語句を答えよ。 問２　性質２を証明せよ。 問３　空欄(2)の元が唯一であることを、上記のモノイドの定義に基づいて証明せよ。 問４　P(N)上の演算∩に関する逆元の定義を述べよ。 問５　P(N)の要素のうち、演算∩に関する逆元が存在するものを全て求めよ。求めた要素に逆元が存在する理由と、それ以外の要素に逆元が存在しない理由も述べること。 という問題があります。 問１は(1):(A∩B)∩C = A∩(B∩C) 　　　　(2):単位元 となるのは分かるのですが、問２以降が全然分かりません。 どなたかこの問題が解ける方いらっしゃらないでしょうか？

工学部情報系の学科所属の大学3年生の者です。 線形代数を自学しているのですが、 次元定理、直和に関する定理の証明に私が理解できない表現が あります。 定理（直和） (1)Ｗ＝Ｗ_1＋Ｗ_2 の元は 　　u = u' + u"、u'∈Ｗ_1、u"∈Ｗ_2 　 の形に一意的に表わされる。 (2) dim(Ｗ_1＋Ｗ_2)＝ dim Ｗ_1 + dim Ｗ_2 (3) Ｗ_1∩Ｗ_2＝｛o｝　(零ベクトル) 証明（一部分） (3)⇒(1)：u∈Ｗ に対して2通りの表示 　u = u' + u" = v' + v"、 　u' , v'∈Ｗ_1、　u" , v"∈Ｗ_2 があったとすれば、 　u'－v' ＝ v"－ u" この等式の左辺は∈Ｗ_1、右辺は∈Ｗ_2、 したがって両辺ともに∈Ｗ_1∩Ｗ_2 証明の最後から2行目「この等式の左辺は∈Ｗ_1、右辺は∈Ｗ_2、」 は分るのですが、 それに続く「したがって両辺ともに∈Ｗ_1∩Ｗ_2」がよく理解でき ません。 なぜ、そのように言えるのでしょうか？ 長文で申し訳ないです。

いわゆる超複素数系（特に四元数、八元数）についての質問です。 （通常の）四元数・八元数の定義からすると、３個または７個の 虚数単位を対等・等価に見るため、以下のような性質を満たします。 　・四元数の場合、１,２,３番目の虚数単位をそれぞれi,j,kとおくと、 　　ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=jが成立する。 ここで質問なのですが、 たとえノルム保存の性質が崩れてしまうなどの犠牲があるとしても、 以下の条件を満たすような、通常の定義とは異なる四元数・八元数の 定義・体系というのは代数学的に成立しうるものでしょうか。 　・例えば、i^2=-1,j^2=-1,k^2=-1などの性質は成立しても、 　　ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=jなどの性質は持たない四元数体系 質問は以上です。 ちなみに、何故こんな質問をしたかというと、もともとは、 ある演算の目的から、実数部分と１番目の虚数単位部分だけを 特別扱いでき（通常の複素数として扱える）、２番目以降の虚数 単位部分は１番目までとは代数的性質の異なる付属品的なもの として扱えるようなことはできないか、と考えたためです。 演算の途中結果を２番目以降の虚数単位の係数に入れて保存し、 後の段階で必要なときに取り出せるということができれば、 数値演算はもとより、理論展開・考察をする上でも便利だし 面白いな、と思ったのです。 通常の四元数の定義だと、ij=kなどの性質があるため、j,kの係数に 保存したい値を入れた後に実数と１番目の虚数iだけを使って計算 しても、j,kの値が自動的に変わってしまいます。 以上です。ご教示よろしくお願いします。

ジョージャイの「物理学におけるリー代数」を読んでいるのですが、次の文章の意味がわかりません。 物理系の変換には自然な掛け算則が存在する。g1とg2を２つの変換とすれば、g1g2は、先ずg2を行い、次にg1を行うことを意味する。ただし、合成則を我々が今やったように右から左へと定義するか、左から右へとするかは全くの約束であることに注意しておきたい。どちらでも、完全に矛盾のない変換群の定義を与える。 この変換が量子力学系の対称性である場合には、変換はそのヒルベルト空間を等価なヒルベルト空間に移す。各々の群の元gに対し、ヒルベルト空間を等価なそれに移すユニタリー演算子D(g)がある。変換された量子状態は変換された物理系を表すので、これらのユニタリー演算子は変換群の表現をなしている。かくして対称性の任意の集合に対し、ヒルベルト空間上の対称性の群の表現が存在する。ーヒルベルト空間はその群のある表現にしたがって変換する、と言う。さらにまた、変換された状態はもとのそれと同じエネルギーを持っているので、D(g)はハミルトニアンと交換する。 (引用終わり) 以下の5つの部分がわかりません。 (1)「この変換が量子力学系の対称性である場合」とはどういうことでしょうか？この場合の対称性とは何のことですか？ (2)「等価なヒルベルト空間」とはどういう意味でしょうか？ (3)「変換された量子状態は変換された物理系を表すので、～変換群の表現をなしている」というロジックがわかりません。 (4)「ヒルベルト空間はその群のある表現にしたがって変換する」とはどういう意味でしょうか？ (5)最後に、変換された状態はもとの状態と同じエネルギーを持っているというのは、どうしてですか？ 分かる方ご教授ください。よろしくおねがいします。

ｎ次元ベクトルの外積の定義はどういうものなのでしょうか？ そもそもできるのでしょうか？外積は３次元特有のものでしょうか？ 例えば、n次元ベクトルの内積は、例えば (a1,a2,.....,an)・(b1,b2,.......,bn) =a1*b1+a2*b2+......+an*bn と定義できると思っています。 こういう感じでn次元ベクトルの外積は定義できますか？ ご教授ください。

ある数列を考えます。初項と終項が規定できます。今、「終項の次の項は、初項」と規則を作ります。するとぐるぐる回って、どこがはじめとも終わりともつかない、環状の数の構造（順序性はある）ができます。こういう環状の数列を研究する分野はあるでしょうか? (1)そのような研究分野の名称 (2)そのような研究分野の応用例 (3)そのような研究分野の本とかURL (4)そのような環状の数列をあらわす記法 などがありましたら教えてください。

３次方程式　x^3－x^2＋２x＋３＝０　の解をα、β、γとする。 （α＋１）（β＋１）（γ＋１）－α^2－β^2－γ^2　の値を求めよ。 がわかりません。＞＜ 回答よろしくお願いします！

　私の理論かどうか知りたくて質問させて頂きます。虚数に置いて√（－１）＝√（（－１）×（＋１））＝（－１）と（＋１）であるという考え方をした数学者を教えて下さい。

「実数を０では割れないという（定義）」に矛盾はないということを積極的に証明する手立てはないのでしょうか。と申しますのは、「定義」は万が一にでも誤っている可能性があり、その場合は、その「定義」自体が、意味をなさないものとなってしまいます。そういった事態を防ぐためにも「能動的に実数を０で割れないという証明」が、できないでしょうか。御教示方何卒宜しくお願い申し上げます。下記は、「教えてgoo」に前回提出した質問で、これにかかわる問題をＸ氏と当方で投げ合ったものです。Ｘ氏には、お許しもいただかずに引用させていただきましたことをお許し下さいませ。 Ｘ氏>『定義』は『証明』されなければ必ずしも正しいといえず『定理』となりえない。（当方の文より引用） 定義は証明するものではありません。天下り的に与えられるものです。 通常は矛盾がなければ正しい定義だとみなされます。(意味があるかは別にして) 当方：「受動的にそれを否定する証明」がない限りとおっしゃっている意味にとらえられるのですが、逆に「能動的に誤謬がないことを証明」する方法はないのでしょうか。これについて述べていただいているＵＲＬを因みに御添付いたします。例えば「3/0」を「定義されていない」だけですませうるのでしょうか。「http://www.uja.jp/modules/weblog/details.php?blog_id=655」以上　今後ともご指導ご鞭撻何程宜しくお願い申し上げます。ありがとうございました。 Ｘ氏：ナイスな着眼です。 もちろん「証明する必要がある」のですが、非常に難しいです。 それは何をもって「実数」とするのか？という問いとほぼ同じです。 当方：その証明をしていただくわけにはお願いできませんでしょうか。もしくは、それが、明らかに「高等学校の数学課程」をこえていることを説明していただけませんでしょうか。 Ｘ氏：ムリ。私の手に余る。 別途、実数体の定義の無矛盾性について質問を立てれば、誰か数学基礎論に詳しい人が回答してくれるかも。

複素数を扱う際に、複素平面という２次元のフィールドがありますよね。人類が実数しか知らなかった時代は、『数』は、数直線上の１次元にしかなかった。虚数と実数の織り成す２次元の『数』の世界、これは人類に多大な恩恵を与えた。ここで思ったんですが、『数』の概念をさらに拡張して、３次元の複素空間(？)とでもいうべき新たなフィールドって現代数学で研究されてないのでしょうか？四元数とかベクトルとは、ちょっと違う概念なんですけど・・・　x軸(実数)、y軸(虚数)、ここまでは複素平面、z軸(新しい『数』の拡張概念)この３つでできる数空間みたいなものです

素因数分解は一意に決まると学びましたが、大学時代にある数は2通りの素因数分解が出来ると聞いたような気がします。 私の記憶違いなのでしょうか？そんな数はあるのでしょうか？

過酷な受験生活の中でふと悟りや解脱とかいうものは、こんな感じなんじゃないかと思う時がある。 もしそうなら、受験生活をすることがそのまま苦行を意味して、経験的に前へ進めるかも知れない。 そう思えべ思うほど、手っ取り早く仏教の全体像及び本質を学びたいという思いが強くなる。手っ取り早くといったのには二つ意味がある。一つは時間がないから。もう一つは、仏教を学ぼうと思って書棚の前に立っても、訳の分からない（著者が自分の意見を好き放題述べてるようにしか思えないもの）書籍しかおいてないからだ。だから、もし、仏教に対する高度な形式知、暗黙知、および経験的なものをすでに習得済みの方がおられましたら、是非お勧めの書籍一冊を教えて頂きたい。 ここで一冊といったのは、その一冊が著しく質の高い書物なはずだからであります。 どうかよろしくお願い致します。

ユークリッドの原論は後世に多大な影響を与えた。 その最大の理由は何か？ できるだけ具体的に教えていただけませんか？

線形代数を勉強してもう一年近くたちますが、それでもいまだに線形について初歩的のことから理解していません・・・ 形式的にはなんとか計算はできるものの、「正規直交化」とか「部分空間」とか「ｄｉｍ、ｒａｎｋ、がわかってなんになるか」・・・数えれば言い切れないほどなのですが、とにかく直感的にこれらが何を意味しているのかよくわかっていないんです；； ほんとダメダメですね・・・；； なのでもう今年２年になるということでコレではやばいとおもい、なにかとてもわかりやすく解説してあるＨＰもしくは参考書をさがしています。 なので教えてくれる方がいればうれしいです＾＾