4色問題とは、平面上に線でどの様な絵を描いて面を多数に分けても、4つの
4色問題とは、平面上に線でどの様な絵を描いて面を多数に分けても、4つの色で塗り分けられると言う事を証明する問題です。繋がっている面は同じ色で塗れます。面と面が線で接する場合は、異なる色を塗らなければなりません。面と面が点で接する場合や離れている場合は、同じ色で塗れます。まず、絵の線が輪ゴムで出来ているとします。この輪ゴムは伸縮自在です。輪ゴムは、線と線が交差する所で結ばれています。結び目のない直線部分、3本の線の集まる結び目、順次4本・5本・6本と無限に多数の線の集まる結び目を考えます。3本線の結び目は、そこに集まる面は3色で塗り分けられます。4本線の結び目は、2色で塗り分けられます。5本線の場合は3色です。つまり、偶数の線の集まる結び目は2色、奇数の線の集まる結び目は、3色で塗り分けられます。これは、面に青赤と交互に色を塗っていった場合、線の数が偶数の時、面の数も偶数となり、最初と最後の面が異なる色になるが、奇数の線の集まる場合は、面の数も奇数となり、最初と最後の面が同じ青色になる為、もう一色黄色を必要とする為です。次に、それらのさまざまな結び目が3つ集まって三角形を成す場合と、4つ集まって四角形を成す場合、更に五角形・六角形をなす場合と、無限に多くの多角形があります。三角形の場合、それ自身に一色赤色が必要です。角である3つの結び目に集まる線の数が奇数なら、三角の周囲の面（点で接する面も入れて）は全部で偶数になり、青赤2色で塗れます。合わせて3色で塗れます。線の数が偶数なら面の数は奇数になり、塗り分けるのに赤青黄色3色必要です。これは、周囲の面の数が偶数なら、最初と最後の面が異なる色になるが、面の数が奇数の場合は同じ色になり、もう一色黄色が必要となるからです。全部で4色必要です。次に4つの結び目から成る四角形を考えます。四角形自身に赤色が必要です。4つの結び目に集まる線が偶数なら、四角形の周囲の面は偶数となり、2色で塗り分けることが出来ます。四角形と合わせて3色必要です。線の数が奇数なら、面の数も奇数となり、周囲の面を塗り分けるのに3色必要となり、合わせて4色必要となります。これから分かるように、多角形の周囲の面数＝結び目に集まる線の数－多角形の辺数×2となります。面数が偶数の時、多角形と周囲の面は3色で塗れ、奇数の時4色必要となります。（丸に二つの結び目がついている場合、辺数は2と数えます。丸に一つの結び目がついている場合、辺数は1と数えます。）以上の様に、平面上のあらゆる図形は、伸縮すれば結局、結び目の形とその結び目が作る多角形に還元されます。絵のどの部分の多角形を見ても、それ自身と周囲の面は4色で塗り分けられています。多角形の周囲以外の離れた面は考慮する必要はありません。多角形と同じ色で塗れるからです。どの結び目を見ても、そこに集まる面は3色で塗り分けられています。従って、平面上のあらゆる図形は、4色で塗り分けられます。球面上の図形も一つ一つ見ると結び目と、多角形に還元されますので同じです。
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