• ベストアンサー

広義積分、極限の性質について

広義積分∫(1→∞) sinx/x dxは収束することを示す ∫(1→r) sinx/x dx =∫(1→r)(-cosx)'/xdx =[-cosx/x]_(1→r)-∫[1→r](cosx)/(x^2)dx -(cosr)/rはr→∞のとき収束 ∫[1→r](cosx)/(x^2)dxも ∫|cosx|/(x^2)dx≦∫1/x^2dx が収束するので収束する。 初歩的な質問なのですが、∫1/x^2dxが収束する時なぜ∫(1→r) sinx/x dxも収束するのですか?詳しく教えてください。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • f272
  • ベストアンサー率46% (8008/17113)
回答No.1

∫1/x^2dxが収束する ⇒∫[1→r](cosx)/(x^2)dxが収束する ⇒[-cosx/x]_(1→r)-∫[1→r](cosx)/(x^2)dxが収束する ⇒∫(1→r) sinx/x dxが収束する

関連するQ&A

  • 広義積分について

    次の広義積分が収束することを示せ (1) ∫[1,∞]cosx/x^2 dx (2) ∫[1,∞]sinx/x^1/2 dx

  • 広義積分の収束or発散の判定

    (1) ∫(0~1) (1-x^3) ^ -1/2 dx (2) ∫(0~1) (1-x^4) ^ -1/2 dx (3) ∫(0~π) (sinx+cosx) ^ -1 dx これらの広義積分の収束or発散を調べたく、(1)(2)は収束し、(3)は発散するそうなのですが、解き方がいまいちわかりません。分かる方がいましたから、教えて頂けると助かります。

  • 広義積分の問題です

    広義積分∫sinx/x^α dxは0<α<2ならば収束することを示せ。またこの積分は1<α<2のときのみ絶対収束することを示せ。ただし積分区間は0~∞とする。まったくわからないので丁寧に教えてくれればありがたいです。よろしく御願いいたします。

  • 広義積分

    広義積分の収束発散を教えてください。 ∫(1→∞)e^(-x)cosx/√(1+x) dx 方針さえも分かりません。 途中式を教えていただけないでしょうか? よろしくお願いいたします。

  • 広義積分の問題を教えて下さい

    次の問題の答えを教えて下さい。 1.次の広義積分を求めよ。ただし、r,kは正の定数とする。 (a)∫(rから∞)dx/x^2 (b)∫(0からr)dx/√r-x (c)∫(-∞から0)e^(kx)dx (d)∫(0から1)dx/x^2の三乗根 (e)∫(1から∞)dx/x(1+x) (f)∫(0から1)√(x/1-x)dx 2.次の広義積分を求めよ。 (a)∫(-1から1)dx/x (b)∫(-1から1)dx/x^2 (c)∫(-∞から∞)dx/x^2+1 3.広義積分I=∫(0からπ/2)log(sinx)dxの値を、次のようにして求めよ。 (a) I=∫(π/2からπ)log(sinx)dx=∫(0からπ/2)log(cosx)dxが成り立つことを示せ。 (b)x=2tとおいて2I=∫(0からπ)log(sinx)dxの値を計算することによって、I=-(π/2)log2であることを示せ。 4.s>0として、ガンマ巻数Γ(s)=∫(0から∞)e^(-x)x^(s-1)dxについて式Γ(s+1)=sΓ(s)が成り立つことを示せ。 5.p>0,q>0として、ベータ関数Β(p,q)=∫(0から1)x^(p-1)(1-x)^(q-1)dxについて式Β(p,q)が成り立つことを示せ。 お願いします。

  • 広義積分

    広義積分が収束するかどうか調べてください。収束する場合はその値も求めてください。 (1)∫[1,∞]1/{x(x^2+2)}dx (2)∫[1,4]x/√(4x-x^2)dx 途中計算も書いてくださると、ありがたいです。

  • 不定積分と広義積分の収束判定

    ∫(0-∞)sinx/xdx が解けません。ヒントでもよいのでお願いします。 過去にも同様の質問がありましたが回答みてもよくわかりませんでした。 収束判定するときに優関数を選ぶコツっていうのはあるんでしょうか? あと ∫e^x/xdx ∫sinx/xdx の不定積分はどうなるんでしょうか?

  • 極限の問題(収束半径、広義積分)です。

    解いていて、つまずいている問題があります。どうか分かる方お力添え下さい。 (1)Σ(√(n+1)-√n)x**n の収束半径? 補足(Σの添え字nは0から∞です)   (**は2乗を示しています)   (√は()の中にかかっています) ダランベールの収束判定法から 収束半径r=lim(x→∞)an/an+1にしたがって解こうとしてのですがそこで詰まりました。 (2)Σan*(x**n)とΣn*an*x**(n-1)の収束半径が同じであることを示せ。 補足(Σの添え字nは0から∞です)   (**は2乗を示しています)   (*はかけ算を示しています)    (anは数列です) ダランベールで解こうと思ったのですがxの肩のn-1が定理と違うのでこれ以上進みません。 (3)∫sin(1/x)dx(0<x≦1) ∫(x(x-1))**(-1/3)dx(2≦x<∞) ∫1/xdx(-1≦x≦1) は収束、発散? 広義積分なので∫の中の関数より大きい関数で押さえれば収束が示せると思ったのですが適当な関数が見つかりません。

  • 広義積分

    次の広義積分が収束するかどうか、調べてください。収束する場合はその値も求めてください。 ∫[1,∞]1/(x^3+1)dx 3次式の因数分解の公式を使うんでしょうか?

  • 広義積分の問題です

    ∫1/(x^3+1)dxの広義積分が収束することを示し値を求めてください。 解答の際にはなぜ収束するかも書いてくれるとありがたいです。御願いします