√(m+1)+√m

質問

nを自然数とすると、ある自然数mが存在して
(2+√3)^n=√(m+1)+√m
と書けるそうです。

ここで質問なのですが、
自然数mに対して、ある有理数p,qが存在して
√(m+1)+√m=p+√q
と書けるならば、ある有理数a,bと自然数nが存在して
√(m+1)+√m=(a+√b)^n
と書ける、ということは成り立ちますか？

回答No.3

tmppassenger · ベストアンサー

ちょっと考えてみれば分かるんではないかな？

先ず、a+√b = √c, a, b, cは正の有理数 となるa, b, cはどのような可能性があるかを考えてみると、
a^2 + b - c = 2a√bとなるから、 a≠0ならば b = ((a^2 + c - 2) / 2a)^2 となる。つまり、
◯ a≠0ならばbはある有理数の2乗となり、従ってa+√b = √
c は有理数となる
◯ a=0ならば b=c
の2通りしか可能性がない。

そこで、√(m+1) + √m = p + √q, mは自然数, p, qは全て有理数とすると、
(2m+1 - p^2 -q) + √(4m(m+1)) = 2p√q (= √(4p^2 q) ) となるから、可能性としては
◯ 2m+1 - p^2 -q = 0かつ m(m+1) = (p^2)q
◯ もしくは 4m(m+1) = k^2 なる有理数kがある
の2通りしかない。

△ところで、後者の場合、結局 m(m+1) = r^2なる有理数 rあるが、r=s/t, sとtは正整数で互いに素とおくと、t^2 m(m+1) = s^2 となるが、tとsは互いに素だから、結局 m(m+1) = s^2 とならなければならないが、mとm+1は互いに素だから、結局この場合は成立しない。従って、r=0 つまり m=0でなければならず、この場合 √(m+1) + √m = 1となる。

△で、前者の場合、つまり 2m+1 - p^2 -q = 0かつ m(m+1) = (p^2)qの場合、根と係数の関係から、mとm+1は
x^2 - (p^2 + q) x + (p^2) q = 0
の2根となっている。この方程式は(x-p^2) (x-q) = 0であるから、
※ m=p^2 かつ m+1 = q
※ m=q かつ m+1 = p^2

となるしかない。前者（m=p^2 かつ m+1 = q）の場合は、√(m+1) + √m = p + √(p^2 +1) となり、これは右辺が-1の場合のPell方程式
x^2 - (p^2+1) y^2 = -1
の最小解<x,y> = <p,1>の場合である。

後者（m=q かつ m+1 = p^2）の場合は、√(m+1) + √m = p + √(p^2-1) となり、これは右辺が1の場合のPell方程式
x^2 - (p^2-1) y^2 = 1
の最小解<x,y> = <p,1>の場合である。

お礼

ありがとうございます。
とてもわかりやすかったです。

回答No.4

tmppassenger

あ、最初は a+√b = √c, aは有理数, b, cは正の有理数となるa,b,cですね。あと、a^2 + b - c = -2a√bです。

お礼

わかりました。
ありがとうございます。

結局√(m+1)+√mは二次無理数なら二次体の基本単数eがあって√(m+1)+√m=e^nとなるのですね。

回答No.2

f272

> ここで質問なのですが、

これ以降に答えると
ある有理数としてa=p，b=q，ある自然数としてn=1をとればよい。

お礼

あ、すみません寝ぼけたこと書いてしまいました。
聞きたいことが私の文章能力を超えていて、どう表現すればいいのかわからないのですが…
自然数mに対してある有理数p,qが存在して
√(m+1)+√m=p+√q
となるならば、あるペル方程式の最小解a+√bと自然数nが存在して
√(m+1)+√m=(a+√b)^n
となるか？ということが聞きたいのだと思います(まだ不注意があったら申し訳ありません…)。

どうでしょうか？

回答No.1

tmppassenger

『ここで質問なのです』が、以下の質問は一旦無視します。

で、冒頭の『nを自然数とすると、ある自然数mが存在して(2+√3)^n=√(m+1)+√mと書ける』というのは、x[0]=2, y[0]=1がd=3の場合の『Pell方程式』https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%83%AB%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F

x^2 - dy^2= 1

の、（x,yが正整数の）解の中の最小解である事に起因します。
この時、(x[0]+y[0]√d)^n = (x[n]) + (y[n])√d を満たす 正整数の列x[n], y[n]が定まり、なおかつこの x[n], y[n] も x^2 - dy^2= 1 を満たすことが示されます。x[n], y[n] がPell方程式を満たす事から、
(x[0]+y[0]√d)^n = √(x[n]^2) + √(d(y[n])^2) = √(1+ d(y[n])^2) + √(d(y[n])^2) となりますね。

他にも、d=2に対するPell方程式の最小解はx=3, y=2 なので、
(3+2√2)^n も √(m+1) + √m の形で必ずかけます。

詳しくは例えば https://wkmath.org/pell-f.html とかをみてください。

お礼

ありがとうございます。
解説のおかげでその点については納得いたしました。

補足

自然数mに対してある有理数p,qが存在して √(m+1)+√m=p+√q
と書けるならば、あるペル方程式の最小解a+√bと自然数nが存在して
√(m+1)+√m=(a+√b)^n
と書けるのでしょうか？

ということが聞きたかったです…。
すみません。

つまり言い換えると、

√(m+1)+√m が2次無理数ならば、あるペル方程式の解を与えるか？

…、かもしれません(すみませんペル方程式に詳しくなくて)。
意味があるように補足しながら教えてほしいです。