どこまで書けばいいのかは学習段階に依存します
時期的に考えても，質問者さんは
大学の理系の微積分の一年生で
εδの初歩をやってるってとこでしょうから
最初は
馬鹿らしくても定義に従って泥臭く書く
ことをお勧めします
やってるうちに定義や論法が自然に理解できます
(1)だけ．
上限：
sup(A) = 1である
なぜならば，任意のε>0にたいして
1∈ Aであるので，
任意のε>0に対して
1-ε< a ≦ 1 となるAの元aが存在する
＃「最大元が存在すればそれが上限である」
＃という定理を習ってればそれを使ってもよいです
下限：
inf(A)=0である
以下にそれを示す
任意のε>0にたいして
0< a < ε となるAの元aが存在することを
示せばよい
εが有理数である場合，
n，mを自然数とし
ε=m/n と既約分数で表すことができる．
このときは a = 1/n とすればよい
εが無理数である場合
有理数の稠密性より，互いに素な自然数n，mを用いて
0<m/n<εとなる有理数m/nが存在する
そこで a= 1/n とすればよい
有理数の稠密性は
さすがに使ってよいでしょうし
習ってると思います．
投稿日時 - 2006-05-21 12:10:17
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