高校数学の問題（方程式）を解く方法
- 整数a,bを係数とする2次方程式X^2+aX+b=0が有理数の解αをもつときαは整数であることを示すための証明方法を教えてください。
- 質問文章によると、解答の中でαに有理数の形にした表現を使い、それを与式に代入した結果、整数の形になることを示しています。これにより、与式の解が有理数である場合、必ず整数になることが証明されます。
- 解答の一部は背理法のように見えますが、具体的にどのような証明手法を使っているかはわかりません。ただし、与式の解が有理数の場合に整数になることが証明されていることは確かです。
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高校レベルの数学の問題（方程式）教えてください！！
整数a,bを係数とする2次方程式X^2+aX+b=0が有理数の解αをもつときαは整数であることを示せ。 問題集の解答 α＝n/m(m,nは互いに素な整数、mは0でない) とおく。 「質問壱 α＝n/mと置いたのは有理数の形にした。だけ？」 αはX^2+aX+b=0の解なので (n/m)^2+a(n/m)+b=0 n^2+amn+bm^2=0 mが±1でない ならば、mはある素因数Ｐを含む。 「質問弐 ±1の条件はm=±1ならαは整数になるから？でも整数も有理数なのだからそのままでもいいのでは？」 するとn^2=-m(an+bm)も素因数Pを含む。 n^2の素因数はnの素因数だから、Ｐはnの素因数となり、m,nは公約数Ｐをもつことになる。これはm,nが互いに素であるという仮定に反する。よってm=±1 α=±n(整数) 実を言うとこの解答はほとんどわかっていません。 1．α=n/mという有理数の形にしてみる。 2.実際に与式にn/mを代入したとき、n/mが約分して整数の形になってしまう。だからαが有理数の解ならαは必ず整数ってことが証明できる。っていうことをしているんでしょうか？？ でも解答みるとなんか難しいことかいてるんで良くわからなくて？こんなに難しいことしないと駄目なんでしょうか？？解答ってこれ背理法ってやつですか？あまり背理法理解してないもんで。これ背理法かどうかもわからない。
- sisimaru123
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背理法とは結論と逆の仮定をしてその命題が矛盾することで、 本来の命題の証明をするものです。 この問題の場合、αが整数であることを証明したいのでαが整数でないと仮定した場合に、矛盾が生じることを証明しているのです。 前提としてαが有理数とあるのでα＝ｎ／ｍ（互いに素）とおいて、これが、整数でない、つまりｍ≠１と仮定してその矛盾を証明しているわけです。ｍ≠１で矛盾するのだからｍ＝１でしょってことです。
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お礼
おぉー。なるほど～なんかそういわれるとわかった気になるなぁー。教え方上手いですね！！ありがとうございます！！しかもこんなに早い解答！！感謝します！！