無理数√６の性質と背理法による証明
- 無理数√６の性質や背理法を使った証明方法について詳しく解説します。
- 解答の中で★や☆といった記号が使われており、その部分の意味や正当性について疑問を持っています。
- また、別解として√６が有理数ではないことを示す方法についても説明します。
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数A背理法のもんだいについて
【問題】 √６が無理数であることを、背理法を用いて証明せよ。 という問題の解答について質問です 【解答】 √６＝b/a（a、bは整数）と表せると仮定すると、√６a＝ｂより、両辺を２乗して、 ６aa=bb・・・(1) ★aa,bbにふくまれる素数２の累乗の指数は、いずれも偶数であるから 6aa=2・3・aaに含まれる２の累乗の指数は奇数、bbに含まれる２の累乗の指数は偶数であり、素因数分解の一意性より6aa≠bbとなり、(1)に矛盾★ ゆえに、√６は無理数である ★ではさんだ部分がよくわかりません… あと、別解として √６が有理数だとすれば、√６＝q/p(p,qは互いに素な自然数（整数？））と表せる。 これより、６ｐｐ＝ｑｑ ☆左辺が２で割り切れるので右辺も２で割り切れなければならず、ｑは２で割り切れる。 よって、右辺が４で割り切れるので左辺も４で割り切れなければならず、ｑも４で割り切れる。☆ これは、ｐ、ｑが互いに素であることに矛盾する。 ゆえに、（背理法により、）√６は無理数である も可能でしょうか？ でも☆の部分で、「左辺に６ってあるから２じゃなくて３で割り切れるので～」という風にもなる…？とか考え出したらよくわからなくなっちゃって… ★の部分と☆の部分についてお願いします（> <)
- asd0pse
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質問者が選んだベストアンサー
☆も★も基本的に同じアプローチなので、OKだと思います。 左辺に6があるから、3でも割り切れるハズで、というアプローチでも同様です。 2・3・p・p = q・q なので、右辺も３で割り切れるハズ。となれば、ｑが３で割り切れるので、右辺は９で割り切れるハズ。 すると、左辺も９で割り切れるためには、ｐも３で割り切れる必要があり、互いの素でないので矛盾。
その他の回答 (2)
- Tacosan
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あれ? ☆は議論がおかしい. 最後が「ｑは２で割り切れる」と「ｑも４で割り切れる」になっちゃってる.
補足
打ち間違いですすみません
- Willyt
- ベストアンサー率25% (2858/11131)
分からないと示された部分と別解だとして提示された部分は全く同じことを表現しているのです。左辺が偶数なので、右辺は偶数。従ってｑが偶数でなければならず、これはｑが素数であるという条件に反することになります。また、３の倍数であることはここでは全く関係のない事実です。３の倍数であることは偶数であることを妨げる事実ではないからです。
補足
☆の３で考えるパターンは＃１さんのように考えたのですが… え？これだめなんですか？（> <）
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補足
★の「aa,bbにふくまれる素数２の累乗の指数は、いずれも偶数であるから」 は、まずbが偶数だからaも偶数、という説明を省いていきなり１行目で両方偶数、と書きだしている、ということですよね？ それでは、☆の部分は２でも３でもどっちの考えでも大丈夫なんですね！ 良かったです