任意の自然数m,nについてm^2+n^2=p^2+q^2を満たすような

質問

任意の自然数m,nについてm^2+n^2=p^2+q^2を満たすような正の有理数p,qの組み合わせ
を見つけることは可能ですか?
更に言いますと、数学的な要求でなくてすみませんが
できればp,qは小数第3位くらいまでで表せる数だと一番いいのですが。

一応、↓の質問の続きです。
http://okwave.jp/qa/q6156285.html

回答No.4

nag0720 · ベストアンサー

＃３です。前の回答は考えすぎていました。

a^2+b^2=c^2
となるピタゴラス数が１組あれば、

(am+bn)^2+(an-bm)^2
=(am)^2+2abmn+(bn)^2+(an)^2-2abmn+(bm)^2
=(am)^2+(bm)^2+(an)^2+(bn)^2
=(cm)^2+(cn)^2

∴m^2+n^2={(am+bn)/c}^2+{(an-bm)/c)}^2

ピタゴラス数の組を変えればいくらでも見つかります。

a=3,b=4,c=5
a=7,b=24,c=25
とすれば小数第2位以内で表せます。

お礼

ありがとうございます!!
　c=(2^a)×(5^b) (a,bは3以下の自然数)
で選べば目的は達成できるわけですね
(mやnに公約数があれば、更に選択肢が増えるでしょうが)。

実用上の問題で
ピタゴラス数に関する問題が出てくるとは思いませんでした。
やはり「数学は日常生活で使わない」は嘘ですね。
こういう問題が少しでも自分で解決できよう精進したいと思います。

回答No.3

nag0720

m^2+n^2=p^2+q^2となる正の有理数p,qが存在するか。

これは有理数の分母を払うことによって、

任意の自然数m,nについて
a：b＝m：n
a^2+b^2=c^2+d^2
となる自然数a,b,c,dが存在するか。

という問題と同じです。

自然数a,b,c,dが、ab=cd　のとき、
(a+b)^2+(c-d)^2=(a-b)^2+(c+d)^2
が成立します。

(a+b)：(c-d)＝m：n　とすると、
n(a+b)=m(c-d)=m(c-ab/c)
n(a+b)c=m(c^2-ab)
mc^2-n(a+b)c-mab=0

cが自然数であるためには、
判別式=n^2(a+b)^2+4m^2ab
が平方数でなければなりません。（十分条件ではありませんが）

結局、質問の問題は、

任意の自然数m,nについて、
n^2(a+b)^2+4m^2ab=k^2
となる自然数a,b,k（a≠b）が存在するか

という問題と同じになります。

これは、ピタゴラス数を求めるより難しいです。
もしかしたら、そのような組み合わせが存在しないm,nがあるかもしれません。

前の質問で示した方法は、m,nを自由に決められるわけではないので、残念ながらNo.2さんの方法はできませんので。

お礼

前の質問でも回答いただいた方だったんですね。
ありがとうございました。

実はマシニングセンタやNC旋盤で円弧を描く指令が
μm単位までしか値を指定できない一方
円弧の半径は大概無理数になってしまうので
誤差を含まないような指令法は無いのかと研究中でした。
円弧や中心の座標はたいてい整数か半整数のmm単位ですから…。

補足

趣旨を理解いただき、(p,q)=(m,n)等の場合を挙げずにいただきありがとうございます。
「存在するか」を「任意の」にした代わりに
整数を有理数としたことでハードルを下げたつもりでしたが
変わりなかったんですね。

容易ではないことを知り、悩んだ甲斐があった反面
実用上どうしようかと思うと少しがっかりです。

回答ありがとうございました。

回答No.2

kentarou2333

前の質問で、該当する整数の組み合わせの求め方が示されていると思います。

小数第３位までということなので、それらの数を

2^n x 5 ^m ( n と m は、0 ～ 3 の任意の数 )

で割ってあげればいいのではないでしょうか。

例えば、m, n , p q の整数が満たす場合、

m/50, n/50, p/50, q/50 の組み合わせ
なんかが求めるような数の一つになるかと思います。

補足

回答ありがとうございます。

前回の問題は「そのような組み合わせが(1つでも)存在するか」であり
今回の問題は「任意の」が付いていますので、勝手にm,nを選ぶことはできません。
すべてのm,nについてp,qが存在するかを問うているのと同じです。

なお、質問文で言い忘れましたが、p≠mかつq≠mです。

回答No.1

chie65535

＞正の有理数p,qの組み合わせ

有理数とは「二つの整数 a, b （ただし b は 0 でない）をもちいて a / b という分数で表せる数のこと」ですよ。

なので、a, bが何10万桁もある巨大な整数の場合もＯＫになってしまいますよ。

従って「有理数p,qの組み合わせ」は、無数にあると思われます。

補足

回答ありがとうございます。

有理数については承知しておりますが
趣味の数学ではないので、実用上の都合を申し上げました。

組み合わせは無数にあるとのことですが
(m,n)=(2,1)のとき、そのようなp,qは例えばどんなものがありますか?
無論{p,q}={2,1}以外の組でお願いします。