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- staratras
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「N0.6の訂正」の訂正です。失礼しました。 No.4→N0.5です。
- staratras
- ベストアンサー率41% (1443/3519)
No.4の最後から3行前の誤記を訂正します。-1は不要です。 誤:(x^2-2x-18)(x^2-1-2x+18)=0 正:(x^2-2x-18)(x^2-2x+18)=0 なお念のためにy、zを求めると x=1+√19≒5.3589をNo.4の各式に代入して v=√(32-2√19)≒4.8252 z=2√3(4+√19)/√(32-2√19)≒6.001 です。
- staratras
- ベストアンサー率41% (1443/3519)
BF=x,BE=y,AB=z とする。 三角形FBEに余弦定理を適用して y^2=x^2-4x+16 …(1) BC=√3z、三角形BCFと三角形GAFは相似で相似比はx:3だから AG=3√3z/x 三角形ABGに三平方の定理から z^2+(3√3z/x)^2=(x+3)^2 これを整理して (x+3)^2=z^2+27z^2/x^2 …(2) 三角形FBEの3頂点を通る円を描きABとの交点をHとする。 三角形HBFと三角形EFCは相似になるので BF:BH=FC:FE x:2zx/(x+3)=y/√3:4 これを整理すると x+3=yz/2√3 …(3) (1)(2)(3)からyとzを消去すると x^4-4x^3+4x^2-324=0 (x^2-2x-18)(x^2-1-2x+18)=0 このうち正の実数解はx^2-2x-18=0 から得られるx=1+√19 のみ 答えBF=1+√19
- gamma1854
- ベストアンサー率54% (287/523)
Bを原点とするxy座標平面に、A(0, 1), C(√3, 0), D(√3, 1) をとる。 このとき、線分AC : x=√3*t, y=1 - t, (0<t<1) とする。 F(√3*t, 1 - t) とすると、G(√3*t/(1-t), 1), E(√3*t - √3*(1-t)(2t-1)/(1+2t), 0) ですから、9*FE^2=16*FG^2 なる条件より、 9(1-t)^2*4(4t^2-2t+1)/(1+2t)^2=16t^2*(4t^2-2t+1)/(1-t)^2 ⇔ (4t^2-2t+1)*{9(1-t)^2/(1+2t)^2 - 4t^2/(1-t)^2}=0 ⇔ 3(1-t)^2=±2t(1+2t). 0<t<1 をみたす解は、t=√19 - 4. BF=3(1-t)/t=1+√19. となります。 ----------- 省略箇所はご自身で考えて計算してください。
- 上野 尚人(@uenotakato)
- ベストアンサー率86% (252/290)
∠ABF = θ とおく。∠BAF = 60° なので ∠BFC = θ+60° であり、∠EFC = θ とわかる。 ここで ∠HEC = 30° となるような点HをFC上にとる。 ∠FHE = 60° なので、△FEH と △BFA は相似である。 BF = x とおくと相似比は 4 : x である。よって (EH + HF) : (FA + AB) = 4 : x である。 ここで EH = HC なので、この式は CF : (FA + AB) = 4 : x …(*) と書き直せる。 ここで AB = a とおく。AC = 2a であり、FはACを 3 : x に内分する点である(△AGFと△CBFの相似比より)。よって AF = 2a * ( 3 / (3 + x) ) = 6a / (3 + x) CF = 2a * ( x / (3 + x) ) = 2ax / (3 + x) となり、(*) に代入することで 2ax / (3 + x) : ( 6a / (3 + x) + a ) = 4 : x という式が得られる。この比例式を変形して 2axx / (3 + x) = 24a / (3 + x) + 4a 両辺を 2a で割って xx / (3 + x) = 12 / (3 + x) + 2 両辺に (3 + x) をかけて xx = 12 + (6 + 2x) xx - 2x - 18 = 0 x > 0 より x = 1 + √19 …でいかがでしょうか。
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