一般相対性理論の計量について質問です。

質問

富岡竜太著「あきらめない一般相対論」という本の中の証明に疑問があります。
この本では、４次元時空Hの基底を e_μ, その双対空間H*の基底を e^μ (μ=0, 1, 2, 3)としたとき、g_{μν}と、g^{μν}を、
g_{μν}≡e_μ・e^ν, g^{μν}≡e^μ・e^ν
と定義しています。そして、g^{μν}がg_{μν}の逆行列であることの証明を以下のようにしています。

証明　　
g^{μσ}g_{σν}=g^{μσ}g_{νσ}
=e^μ・e^σ・e_ν・e_σ ...........①
　　　　　=e^μ・(e^σ・e_ν)・e_σ ..........②
=e^μ・(δ^σ_ν)・e_σ
=e^μ・e_ν
=δ^μ_ν . □
私がおかしいと思うのは、①から②への変形です。HとH*における内積をそれぞれ、( , )で表すと、
①=(e^μ・e^σ)(e_ν・e_σ)となりますから、e^σ・e_νという演算の入り込む理由がないと思うからです。この証明は本当に正しいのでしょうか？

回答No.1

leo-ultra

大昔に一般相対性理論をあきらめた一人です。

g_{μν}≡e_μ・e_ν
・は内積でないと思います。
左辺は２階のテンソルですが、・が内積だと右辺はスカラーになってしまいます。おかしいです。
e_μ・e_νは１階のテンソルe_μとe_νから２階のテンソルを得る演算です。
まあ、g_{μν}≡e_μ・e_νという表記は紛らわしいので、
g_{μν}≡e_μ e_νとかくべきでは？

お礼

テキストには、・は内積であると書いてあるのですが。