曲線について。

質問

２つの曲線y＝x∧3ーx とy＝x∧2＋aの共通接線をの本数を求めよ。（a は実数)
で、この問題で、なぜ、二重接線になる可能性がないのでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。

回答No.4

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

> しかし、tの四次方程式なので、２個以上存在するのでは？と思うのですが。教えていただけないでしょうか？すみません。

tの四次方程式 g(t) = a については、その異なる実数解の個数を知りたいだけであって、g(t) のグラフに接線をひくわけではありません。
接線を引くのは、あくまでも最初に与えられた3次関数と二次関数のグラフですので、今回は複接線は現れません。

回答No.3

上野 尚人（@uenotakato）

> なぜ、実数tの値とLが1対1で対応するとわかるのでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。

そこで先に述べた
『3次以下の多項式のグラフには複接線が存在しない』
という事実が用いられます。
二次関数や三次関数のグラフでは、『ある一本の直線Lが、曲線と2回以上接する』ことがないので、tの値（接点のx座標）と接線Lは一対一で対応します。
（もし複接線があれば、L一本に対して二個以上のtが対応してしまいます）

補足

しかし、tの四次方程式なので、２個以上存在するのでは？と思うのですが。教えていただけないでしょうか？すみません。

回答No.2

上野 尚人（@uenotakato）

f(x) = x^3 - x とおく。 y = f(x) のグラフの接線Lが y = x^2 + a にも接するときを考える。

y = f(x) 上の点 ( t , f(t) ) における接線の方程式は
y = f'(t) (x - t) + f(t) より
y = (3t^2 - 1) x - 2t^3
この直線Lが y = x^2 + a と接するとき、xの2次方程式
x^2 + a = (3t^2 - 1) x - 2t^3
が重解をもつ。xについて整理して
x^2 - (3t^2 - 1) x + (-2t^3 + a) = 0
判別式D = 0 より
(3t^2 - 1)^2 - 4 (-2t^3 + a) = 0
9t^4 + 8t^3 - 6t^2 + 1 - 4a = 0
a = (9/4)t^4 + 2t^3 - (3/2)t^2 + (1/4)

この右辺を g(t) とおく。tの4次方程式 g(t) = a の実数解の個数を求める。
この個数がそのまま答になる。
（→実数tの値とLが1対1で対応するから。ここで厳密には『3次以下の多項式には複接線が存在しない』ことをいうことになるが、数学IIまでの範囲ではそこまでの言及はしないことが多い）

g'(t) = 9t^3 + 6t^2 - 3t = 3t (3t^2 + 2t - 1) = 3t (t + 1) (3t - 1)
増減表（略）、グラフの概形（略）をえがき極値を求めると
g(-1) = (9/4) - 2 - (3/2) + (1/4) = -1
g(0) = 1/4
g(1/3) = 1/36 + 2/27 - 1/6 + 1/4 = 5/27
より、 y = g(t) と y = a の交点の個数を考えて

a < -1 : なし
a = -1 : 1本
-1 < a < 5/27 : 2本
a = 5/27 : 3本
5/27 < a < 1/4 : 4本
a = 1/4 : 3本
a > 1/4 : 2本

…でしょうか。

補足

なぜ、実数tの値とLが1対1で対応するとわかるのでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

多項式が3次以下だから、というのが理由になります。

ある関数のグラフ ( y = f(x) とし、何回でも微分可能とします ) と、ある直線が2回以上接するときその直線は複接線と呼ばれますが、複接線が存在するときは、y = f(x) のグラフに二個以上の変曲点が存在します。そのときは『f’’(x) = 0』をみたす実数xが二個以上存在し、fは4次以上でないといけません。

今回与えられた２つの多項式は三次式と二次式なので、どちらにも複接線は存在しないといえます。
（高校では、数学IIまでの範囲だと上記の議論がしづらいため、三次以下の多項式のグラフに複接線が存在しないことには触れず自明とすることが多いでしょう）

お礼

微分を使ってといていただけないでしょうか？

補足

では、微分する方法では、αについての四次方程式になるのですが。教えていただけないでしょうか？すみません。