二次関数と三次関数の２本の共通接線の交点の軌跡

質問

はじめまして。高校２年生です。

y=x^2とy=(x-a)^3の２曲線がx軸以外に２本の共通接線をもつとします。(aは実数）
この時に
(1)aの満たすべき条件
(2)aが(1)の条件を満たしながら動くときの２本の共通接線の交点の軌跡
をそれぞれ求めたいです。

(1)は求まりました。
まず、y=x^2上の点を(p,p^2)とし、y=(x-a)^3上の点を(q,(q-a)^3)としました。
導関数を利用してそれぞれの曲線上の点での接線を求め、それが一致すると考え、係数比較により２式を得ました。
その２式を連立させて、qに関する２次方程式を得て、それが２つの異なる実数解を持つときの判別式から、aに関する２次不等式が求まり、aの範囲が出ました。

つまずいているのは(2)の方です。
解答までは自分で導いてみたいのですが、方針がまったく立てられません・・・。
y=(x-a)^3の２接線のx座標をそれぞれa,bと置いて、(1)で得たqに関する２次方程式の解と係数の関係から解くのかな・・・？とも考えましたが、根号が出てきてきれいな形にならず、どうもうまくいきません。
一体どうしたらいいのでしょうか・・・？ヒントをいただけると嬉しく思います。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

＞qに関する２次方程式はできたのですが、pに関する２次方程式ができません・・・

(1)の解答は、それぞれの曲線の接線の式
y=2px-p^2
y=3(q-a)^2x-(2q+a)(q-a)^2
が一致することから、
2p=3(q-a)^2
p^2=(2q+a)(q-a)^2
として、この２式からpを消してqに関する２次方程式にしたと思います。

pではなくて、qを消すには、
p^2=(2q+a)(q-a)^2=(2q+a)(2p/3)
より、
q=(3p-2a)/4
これを、2p=3(q-a)^2　に代入して整理すれば、
p^2-4(a+8/27)p+4a^2=0
となります。

お礼

ありがとうございます！本当に助かりました！
ご推察の通り、
2p=3(q-a)^2
p^2=(2q+a)(q-a)^2
の２式からqの２次方程式を作り、aの範囲を求めて(1)の解としたのです・・・

そして、p^2=(2q+a)(q-a)^2=(2q+a)(2p/3)　この式までは導けました。
ここからq=(3p-2a)/4を求めれば、たしかに成立しますね。
基本的な事柄が抜けておりました、恥ずかしいです・・・

最後まで付き合っていただき、本当にありがとうございました！
数学がますます好きになりました！！

回答No.1

nag0720

２本の共通接線のy=x^2上の接点のx座標をp1,p2とすると、

２本の接線の式は、
y=2p1x-p1^2
y=2p2x-p2^2

その交点は、
x=(p1+p2)/2
y=p1*p2

(1)でqに関する２次方程式ができたのなら、pに関する２次方程式もできますね。
pに関する２次方程式ができれば、解と係数の関係からp1+p2とp1*p2が簡単に分かります。
それを上記のx,yの式に代入し、その２式からaを消せば求める軌跡の式になります。

補足

qに関する２次方程式はできたのですが、pに関する２次方程式ができません・・・
どうしても根号や複号が現れてしまいます・・・（qに関する２次方程式を解の公式で解いているため）

どうしたらすっきりしたpに関する２次方程式ができるのでしょうか？