共通接線の問題について。

質問

2つの曲線y=x^3+a、y=3x^2+9x が、その共有点において共通の接線をもつとき、定数aの値と共通な接線の方程式を求めよ。

y=x^3+a より、
y'=3x^2
接点を(s,s^3+a)とおくと、この点における接点の方程式は
y-(s^3+a)=3s^2(x-s)
y=3s^2x+(a-2s^3)　・・・(1)

同様に、
y=3x^2+9x　より、
y'=6x+9
接点を(t,3t^2+9t)とおくと、この点における接点の方程式は
y-(3t^2+9t)=(6t+9)(x-t)
y=(6t+9)x-3t^2　・・・(2)
(1)、(2)は一致するので、
3s^2=6t+9 ・・・(3)
a-2s^3=-3t^2・・・(4)
(3)、(4)を解いて、
？？？

というようにしたのですが、
(3)、(4)を連立して方程式を解いても
答えを導くことができませんでした。

ここからどのようにしたらいいのか教えてください。
よろしくお願いします。

ちなみに答えは、
a=-5のとき　y=3x-3
a=27のとき　y=27x-27 です。

回答No.3

lick6 · ベストアンサー

問題文に「その共有点において共通の接線をもつとき」とあるので
貴方が求めた接点の座標は一致しているということですので
(s,s^3+a) = (t,3t^2+9t)
これと貴方の求めた条件から s , t が求まります。

回答No.4

kkkk2222

この問題を見たのは、随分前のような気がしましたが、まだ３日しか経っていないんですね。

最初見た時には、既に＃１様の回答がありましたし、この手の問題は、思考の余地が殆どなく、極論すれば、鉛筆を動かしていれば、正解が出るのです。しかしながら思わぬ、ＢＯＴＴＬＥ　ＮＥＣＫがないとは、限りません。

また、貴殿の投稿は模範的な質問文で回答者がひと目で論点を把握出来るＭＥＲＩＴがあります。
ーーー
さて本論ですが、問題文だけで解きましたら、
ＢＯＴＴＬＥ　ＮＥＣＫは皆無でした。
＃１様の回答だけで理解できている、はずです。

当方の論旨は、なぜ　s=t　と気が付かなかったか、にあります。不注意ミスではないと推測します。

○図を描く習慣が習得されていない、です。

俗に＜図に騙される＞と表現しますが。
この問題は、２次関数を固定して３次関数を上下に移動して見る事からはじまります。すぐにｘ＝－１前後に解があるのに気がつきます。聡明なひとは、もうひとつの解の存在も気がつくはずですが、当方は気が付きませんでした。計算途中で気が付き、思考すると２次関数と３次関数の性質の違いにより、比喩的に書くと＜３次関数が２次関数に接近し、交わらずに、離れていく＞となります。
これが＜図に騙される＞です。

しかし、高等学校の数学では、このＤＥＭＥＲＩＴより、ＭＥＲＩＴとのほうが遥かに多く　＜図を正確に書く＞ことは重要とします。図を描いていれば、　s=t　は一目瞭然です。
計算を続ければ＜騙された解も＞回復できます。さらに計算違いも未然に防げる事もあります。

この辺りで締めます。
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ＰＳ　　＃２様は独特の感覚があり、いつ読んでも、感心し勉強になります。是非とも＃２を味わって頂きたいなと・・・

回答No.2

y_akkie

以下のようにすれば解きやすくなりますよ．．。

2つの曲線y=x^3+a、y=3x^2+9x が、その共有点において共通の接線を持つためには、これらの曲線が互いに接する必要があります。
なので、方程式x^3-3x^2-9x+a=0の重解を持つようなaの値とその重解を求め、そこから接線の方程式を求めれば早いです。

ちなみに、y=x^3-3x^2-9x y=-aとおいて三次関数のグラフを描いて、グラフから互いに接するようにaの値を定めれば良いだけです。これは、教科書の例題にも出てくる典型問題ですよね？

回答No.1

kakkysan

共通接線ですから、接点のｘ座標は等しい
すなわち
（kamenoko01様の）ｓとｔは同じです
3s^2=6t+9 ・・・(3)は
3s^2=6s+9
s^2-2s-3=0　　より
s=-1、3
とすれば解答が導かれます。