曲線の方程式

質問

大学の数学の宿題で行き詰っているのでどなたか教えてください。

xy平面上の原点Oに光源がある。　この光源からの光が曲線　y=F(x)　のどこに反射してもy軸に平行に進むとき、この曲線の方程式を求めたい。
(1)点Pにおける接線の傾きを　dx/dy　とする。　題意より、AO=OPとなることを利用して、y=f(x)が満たす微分方程式を示せ。
（2）上で求めた微分方程式をといて曲線の方程式を求めよ。

点P ; 曲線y=F(x)と接線との交点
点A ; 接線とy軸との交点

以下僕が途中まで出した答えです。
点Pの座標を(a.b)とすると

接線の方程式
y=dx/dy(x-a)+b

y軸との交点は
y=-a*dy/dx+b

題意より
2b=y

よって
2b=-=-a*dy/dx+b

a*dy/dx+b=0

となったのですが、これは問題の、この光源からの光が曲線　y=F(x)　のどこに反射してもy軸に平行に進む、という題意を満たしていないと思います。

考え方は法線を導いてやればいいと思うのですが、できませんでした。
どなたかわかる方いましたら教えていただきたいです。

回答No.3

noname#137826

#1です。2箇所間違いがありました。

まず、#2の方の仰る通り、点Aは接線とy軸の交点でも OA = OP となります(証明略)。しかし、#1の最後に書いた通り、法線とy軸の交点として考えても OA = OP となるので、#1の道筋をたどっても正しい回答にはたどり着きます。(問題文で指定されている解き方ではないかもしれませんが・・・)

2つ目の間違いは点A(法線とy軸の交点)の座標です。

[誤] (0, x / (dx/dy) + y)
[正] (0, x / (dy/dx) + y)

対応する微分方程式も

[誤] x / (dx/dy) + y = (x^2 + y^2)^(1/2)
[正] x / (dy/dx) + y = (x^2 + y^2)^(1/2)

です。
その後に書いてある変形後の式は正しいものになっています。

回答No.2

Tacosan

そもそも「これは問題の、この光源からの光が曲線　y=F(x)　のどこに反射してもy軸に平行に進む、という題意を満たしていないと思います。」というのは, なぜそう思ったんでしょうか? まぁ確かに問題は日本語に不自由な感じはしますけど.

余談ですが, 接線でもいいと思います＞#1. P を曲線上の点, A を P を通る接線と y軸との交点としたとき, AO = OP なら ∠AOP の 2等分線は AP に直交し, 従って P における法線と平行です. あとは, 全ての直線を P を通るように平行移動すればやっぱり「反射光が y軸に平行になる」ような気がしますが.

回答No.1

noname#137826

問題文で「接線」と書いてあるところは全て「法線」ですね？点Aが問題文のように定義されていると、AO=OPとはなりません。以下、「接線」を「法線」と全て置き換えたとします。すなわち、点Aは法線とy軸の交点です。

点Pでの法線の傾きは -dx/dy ですから、点Aの座標は (0, x / (dx/dy) + y) です。したがって、OA = OP より

x / (dx/dy) + y = (x^2 + y^2)^(1/2)

と微分方程式が得られます。

宿題ということなので、これから先は自分で解いてください。
ヒントは、上記の微分方程式を

x + dy/dx (y - (x^2 + y^2)^(1/2)) = 0

と変形したのち、z = y - (x^2 + y^2)^(1/2) とおいて、dz/dx を計算すると・・・
答えは放物線になります。

ちなみに、点Aを法線とy軸の交点とすると、OA = OP であることは以下のようにして分かります。点Pでの反射光の光路上にある点をQとすると、∠OPA = ∠QPA です。また OA // PQ から ∠QPA = ∠PAO です。つまり、三角形OAPは二等辺三角形であるため、OA = OP です。