フーリエ級数展開の問題の解き方

質問

区間[0,2π]での(sin(t/2))^2をフーリエ級数展開求めろという問題なんですが，
a_0=(1/π)*∫[0,2π] (sin(t/2))^2 dt
=(1/ 2*π)*∫[0,2π] (1-cos(t)) dt
=1
なのはあってると思うんですが，
a_n=(1/π)*∫[0,2π] ((sin(t/2))^2) * cos(nt) dt
と
b_n=(1/π)*∫[0,2π] ((sin(t/2))^2) * sin(nt) dt
を解くとどっちも０になってしまいます。
解答ではフーリエ級数展開したのは，(1/2) - (1/2)*cos(t)となっているんですが
-(1/2)*cos(t)はどこからでてきたのでしょうか？
よろしくおねがいします。

回答No.3

mmky · ベストアンサー

「とりあえずn=1・・・といれて
0じゃないのを探してみるものなんでしょうか？」

ということではないですね。性質を考えるとすぐわかるんです。三角関数の積分がゼロになるのは、n=1から
∫[-π, +π}sin(nx)dx=0, ∫[-π, +π}cos(nx)dx=0
∫[-π, +π}sin(nx)oos(nx)dx=0 など
ではゼロにならないのは、
∫[-π, +π}sin＾2(nx)dx, ∫[-π, +π}cos^2(nx)dx
なぜかというと、
例えば、三角関数の公式から、sin^2x=(1/2){1-cos2x}, 及び　cos^2x=(1/2){1+cos2x},
だから
∫[-π, +π}sin＾2(nx)dx=∫[-π, +π}(1/2)dx-(1/2)∫[-π, +π}cos2xdx=∫[-π, +π}(1/2)dx＝π
なぜなら、∫[-π, +π}cos2xdx=0 だからだね。
つまり二乗に成るものがあるかどうかだけ探せばいいんですね。
そこで、sin(t/2))^2＝(1/2){1-cost}　ですからcostをかけると二乗が出ますね。自動的にn=1 のときのみなんですね。関数の性質を勉強していくと良くわかるようになります。

回答No.2

mmky

((sin(t/2))^2) * cos(nt)
=(1/2)(1-cos(t))*cos(nt)
n=1
(1/2)(1-cos(t))*cos(t)
=(1/2)(cos(t)-cos^2(t))
=(1/2)[cos(t)-(1/2){1+cos(2t)}}

(1/π)*∫[0,2π] (1/2)[cos(t)-(1/2){1+cos(2t)}}dt
=-(1/4)*2=-(1/2)
a_1=-(1/2) それ以外は０ですね。

お礼

回答ありがとうございます。
n=1というのはどうやってでてきたのでしょうか？
公式の
a_n=(1/π)*∫[0,2π] ((sin(t/2))^2) * cos(nt) dt
b_n=(1/π)*∫[0,2π] ((sin(t/2))^2) * sin(nt) dt
が0になったときは，とりあえずn=1・・・といれて
0じゃないのを探してみるものなんでしょうか？

回答No.1

gotaro-m

ｎ＝１。
ｎ－１＝０。

お礼

回答ありがとうございます。