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フーリエ級数展開と複素フーリエ級数展開の証明
T=1,x(t)｛=1(-1/4<t<1/4) =0(-1/2<t<-1/4,1/4<t<1/2) この周期関数をフーリエ級数展開すると x1(t)=Σ_[=1,+∞]{4/nπsin(nπ/2)cos2nπt} また、複素フーリエ級数展開すると x2(t)=Σ_[n=-∞,+∞]2/nπsin(nπ/2)e^j2πnt x1(t)=x2(t)が等しい事を証明する。 オイラーの公式を使って示せばいいと思うのですが、行き詰ってしまいなかなかうまく行きません。お手数ですが、出来れば証明をして頂けないでしょうか？よろしくお願いします。
- _Hikaru_
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nの項と(-n)の項をペアにして考えます。これらに現れる指数関数をオイラーの公式でsine, cosineに書き換えてみますと、 e^(j2πnt) = cos(2πnt)+j sin(2πnt) e^(j2π(-n)t) = cos(2πnt)-j sin(2πnt) 両者を合体させると、 e^(j2πnt)+e^(j2π(-n)t) = 2cos(2πnt)
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- N64
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もともと同じ関数を別の方法で展開しただけですから、同じなのでは？ どうしても、個々にというなら、オイラーの公式を使うのでしょう。 詳しくは分かりませんが、以下のＨＰご参考になるかもしれません。
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