フーリエ級数の求め方。

質問

フーリエ級数展開の問題で
[-π,π]の区間で|sin(t)|をフーリエ級数展開せよ。という問題です。
公式に当てはめて

a_0 = (1/π)*∫[-π,π] |sin(t)| dtとなって、まずこれを
=(2/π)*∫[0,π] sin(t) dtと直せますか？
絶対値がついているのでsin(t)は、π周期になってるのでこう直せると思ったんですが。

次にa_nを求めるのに
a_n=(1/π) * ∫[-π,π] (|sin(t)| * cos(nt)) dt
これも
=(2/π)*∫[0,π] sin(t) * cos(nt) dtとしてしまって問題ないですか？
あとこの積分は
部分積分や三角関数の積和の公式を使って解けばいいのでしょうか？
フーリエ級数について勉強を始めたばかりで自信がなくて細かいことを聞いてしまって
申し訳ありませんがよろしくお願いします。

回答No.2

mmky · ベストアンサー

f(x)=a_0/2 + Σ{a_n*cos(nx)+b_n*sin(nx)}
∫[-π,π]f(x)dx=
∫[-π,π][a_0/2 + Σ{a_n*cos(nx)+b_n*sin(nx)}dx
= ∫[-π,π][a_0/2]dx=2π[a_0/2]
だから
[a_0/2]=(1/2π)*∫[-π,π]f(x)dx
または、
[a_0]=(1/π)*∫[-π,π]f(x)dx
ということですね。
同様に
∫[-π,π]f(x)cos(nx)dx=
=Σ∫[-π,π]{a_n*cos^2(nx)]dx
=Σ[a_n]∫[-π,π]cos^2(nx)dx
=Σ[a_n]∫[-π,π][(1+cos2nx)/2}dx
=Σ[a_n][1/2}∫[-π,π]dx
=Σ[a_n][1/2}2π
[a_n/2]=(1/2π)∫[-π,π]f(x)cos(nx)dx
または
[a_n]=(1/π)∫[-π,π]f(x)cos(nx)dx
ということなのです。フーリエ級数展開はsin, cos関数やそれらとの直行関数との積関数を一区間で積分すると必ずゼロになるという性質を使っているのですね。
ということで|sint|は一区間で偶関数、sin(n)t が奇関数だから積は奇関数になり、
b_n=(1/π)*∫[-π,π] |sin(t)|*sin(n)t dt=0
になりますね。要するに左右がプラスマイナスで打ち消すということですね。
こんなところでいいかな。それからtは物理では時間なので変数として使う場合は注意がいりますね。

お礼

回答ありがとうございます。
まだピンとこないところもあるんですがもう少し勉強してみます。

回答No.1

mmky

関数 y= |sin(t)| とでも置けばこの関数yはy軸に対して左右対象、つまりy=f(t)=f(-t)の偶関数というのがわかるので、全区間（この場合は、２π）の平均値a_0 （直流分に相当）は、
a_0 = (1/2π)*∫[-π,π] |sin(t)| dt
=(1/2π)*2*∫[0,π] sin(t) dt
=(1/π)*∫[0,π] sin(t) dt
になりますね。積分は[0,π]の半区間で実行すればよいということですね。
a_nを求める場合もcos(nt)が偶関数だから同じく左右対称なので同じように半区間で求めて２倍すればよいですね。ただし平均ですから全区間（この場合は、２π）で割っておくことを忘れないようにしないとね。
あとは普通の積分問題ですね。

お礼

回答ありがとうございます。
ちょっと確認なんですが，f(t)のフーリエ級数を
a_0/2 + Σ{a_n*cos(π*n)+a_n*sin(π*n)}
としたら
a_0=(1/π)*∫[-π,π] f(t) dt
a_n=(1/π)*∫[-π,π] f(t)*cos(π*n) dt
b_n=(1/π)*∫[-π,π] f(t)*sin(π*n) dt
で間違いないですか？
>平均ですから全区間（この場合は、２π）で割っておく
の部分が気になったので・・。

あと，y軸で対称なら半区間で求めて2倍すればいいのはわかったのですが，この問題のb_nの場合は
b_n=(1/π)*∫[-π,π] |sin(t)|*sin(π*n) dt
はsin(π*n)が偶関数じゃないのでa_0やa_nを求めるようにはできないってことですよね？