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逆、裏、否定、対偶
stomachmanの回答
- stomachman
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stomachman恒例の蛇足です。 ●∀ε，∃δ，∀x (|x|<δ)，(|f(x) - 0|<0) という論理式に何もおかしな所はありません。∀ε∃δと書いたからって、その後にεやδが出てくる義理なんぞありゃしないし、ましてこの論理式の真偽など問うてはいないんですから。 No.2について ●ご指摘の通り、 > ・A∨(B∨C) は (A∨B)∧(A∨C) と等価 は書きそこ間違いで、 > ・A∨(B∧C) は (A∨B)∧(A∨C) と等価 が正解です。訂正してお詫びします。 ●等価を表す記号 > 例えば(A⇒B) ⇔ (￢(A∧￢B))などと書いてはいけないのでしょうか？ これやると混乱しちゃいますから、よしましょう。ひとつの考え方は、 「X⇔Y は (X∧Y) ∨ (￢X∧￢Y) と等価な演算子に過ぎない。『X⇔Y』が真か偽かはX⇔Y と書いただけではどちらとも言えない。一方『AがBと等価』というのは、『AからBが導出でき、しかもBからAが導出できる』ということを述べている。」 ということです。 「A,B,CからD,Eを導出できる」を表す記号として A,B,CトD,E （ホントはカタカナのトとちょっと違って、横棒が水平）を使うことがあります。この記号を使うと、たとえば三段論法は A, A⇒BトB ジレンマは A⇒B, ￢A⇒BトB のように表せます。論理演算としての⇒と、推論としてのトは区別しなくちゃいけない。これは操作される対象（"⇒"も対象のひとつ）と、対象を扱う体系を区別するということです。 厳密なことを言えば、形式論理体系の公理系および推論規則によって、このへんには多少違いがあります。沢山の公理があって推論規則は三段論法しかない体系もあるし、逆に公理がちょっとで豊富な推論規則を持つ体系もある。だからどういう体系を使うのかきちんと決めておかないと混乱しやすい所ではあります。 ●> 全体としてはA⇒Bの形をしてませんから、対偶というものは考えられません。 についての補足。 一階述語論理の論理式には大きく分けて２種類あります。 ・閉じた論理式：出てくる変数が全て限量子（∀または∃）付きで現れているもの。 ・開いた論理式：限量子（∀または∃）付きでない変数（自由変数）を含むもの。 開いた論理式というのは文脈に依存する。たとえば ∀ε∃δ∀x(|x|<δ⇒|f(x) - 0|<0) というのは一つの開いた論理式で、fが自由変数です。開いた論理式は文脈の中で、「ある特定のfについて話をしている」のか「任意のfについて話をしているのか」が分かるという状態で使われる。ですから、たとえば∀f∀ε∃δ∀xという文脈において、 |x|<δ⇒|f(x) - 0|<0 という開いた論理式を考えるのは差し支えない。そうすると、逆・裏・対偶を作ることが可能です。しかしご質問は ∀ε，∃δ，∀x (|x|<δ)，(|f(x) - 0|<0) についてですから、裏、逆、対偶はありません。 ●さて、僭越ながらtaropooさんへのアドバイス： (1) かくも突っ込んで質問なさるのなら、是非、記号論理学、あるいは数学基礎論の教科書を手に入れて勉強なさるのが宜しいかと思います。面白いですよ。 (2) masuo_kunさんはせっかく回答してくれたんですよ。下記URLをば、じっくりご参照下さい。
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