逆、裏、否定、対偶

質問

基本的なことなのですが、命題の逆、裏、否定、対偶が分からなくなりました。

１．簡単な例で『Ａ⇒Ｂ』の逆、裏、否定、対偶を教えてください。

２．ちょっと高度な例で、『∀ε，∃δ，∀x (|x|<δ)，(|f(x) - 0|<0)』の逆、裏、否定、対偶を教えてください。

回答No.4

oodaiko

oodaikoです。私が余計なことをいろいろと書いてしまったので、あちこちに混乱をもたらしたようで
皆様にお詫び致します。

この質問に対する回答としてはstomachmanさんの回答で完璧だと思いますので
私の回答は補足程度に。

１.について。
一般的な記述ならstomachmanさんの回答で完璧。
具体的な例で見たいのなら最初のmasuo_kunさんの回答で十分。

命題Ａ ：ｘ＞０かつｙ＞０　
命題Ｂ：　ｘ＋ｙ＞０
とした時の
Ａ⇒Ｂ が masuo_kunさんの回答にある
「ｘ＞０かつｙ＞０　ならば　ｘ＋ｙ＞０」
と言う命題です。この命題の否定は
「（ｘ＞０かつｙ＞０　ならば　ｘ＋ｙ＞０）でない」
ですがこれでは見にくいですね。そこでstomachmanさんの回答にあるように
論理的に変形すると
「ｘ＞０かつｙ＞０かつｘ＋ｙ≦０」
となります

２.について。
stomachmanさんの回答にあるように、この命題については
逆、裏、対偶は意味がありません。（と言うより定義されない）
なぜなら逆、裏、対偶というのはあくまで
「（命題Ａが成り立つ）ならば（命題Ｂが成り立つ）」
という特殊な形をした命題について定義される概念だからです。
そこで２.の命題について考えられるのは「否定」だけでその内容については
stomachmanさんの回答の通りです。

お礼

補足に書いた件は気になる所ではありますが、
stomachmanさんのご回答No.5へのお礼にも書きました事情により
これ以上深入りは避けたいと思います。

勝手を言いまして申し訳ありません。

ご回答ありがとうございました。

補足

oodaiko先生に太鼓判を押していただけると大太鼓だけに不思議と裏づけされた気がします。（笑）
しかし、まだ
> この命題については 逆、裏、対偶は意味がありません。（と言うより定義されない）
> なぜなら逆、裏、対偶というのはあくまで
> 「（命題Ａが成り立つ）ならば（命題Ｂが成り立つ）」
> という特殊な形をした命題について定義される概念だからです。
と言う点が腑に落ちません。
実際stomachman先生が最後に出された例は、Ａ⇒Ｂという形をしていませんが、あれを対偶と定義する事に何の問題があるのでしょう？