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ケプラーの第一法則の証明について
r = 1/s. s'' + s = GM/h^2 ・・・・・・・ (#1)（GM/h^2 は定数） 特性方程式 k^2 + 1 = 0 の解は k = 0±i なので s'' + s = 0 の一般解は s0 = e^(0θ)( C1cosθ + C2sinθ ). = C1cosθ + C2sinθ. 特殊解は適当な定数 A を想定すればよいから s = A とすると s'' + s = 0 + A = GM/h^2. ∴A = GM/h^2. 求める一般解は s = C1cosθ + C2sinθ + GM/h^2 ・・・・・・・ (#2) これから r = L/(1+εcosθ) を導くにはどんな式変形をすればいいのでしょう。ネット上の証明をいくつか見ているのですが、(#2)から導いているのはないようです。
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s = C1cosθ + C2sinθ + GM/h^2 任意定数のC1，C2を使わずに C1=C*cos(α) C2=C*sin(α) を満たすようなCとαを使う。 s = C*cos(θ - α) + GM/h^2 ここで GM/h^2=1/L C=ε/L とすれば s = (ε/L)*cos(θ - α) + 1/L = (1 + εcos(θ - α)) / L r = 1/s = L / (1 + εcos(θ - α))
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